300.最长上升子序列

解题思路

动态规划：
定义 dp[i] 为考虑前 i 个元素，以第 i 个数字结尾的最长上升子序列的长度，注意 nums[i] 必须被选取。在计算 dp[i] 之前，我们已经计算出了 dp[0……i-1] 的值。

设 j∈[0,i)，考虑每轮计算新 dp[i] 时，遍历 [0,i) 列表区间，做以下判断：

1. 当 nums[i] > nums[j] 时： nums[i] 可以接在 nums[j] 之后（此题要求严格递增），此情况下最长上升子序列长度为 dp[j] + 1；
2. 当 nums[i] <= nums[j] 时： nums[i] 无法接在 nums[j] 之后，此情况上升子序列不成立，跳过。

上述所有 1. 情况 下计算出的 dp[j] + 1的最大值，为直到 i 的最长上升子序列长度（即 dp[i] ）。实现方式为遍历 j 时，每轮执行 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。

转移方程： dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) for j in [0, i)

初始状态：dp[i]所有元素置 1，含义是每个元素都至少可以单独成为子序列，此时长度都为 1。

返回值：返回 dp 列表最大值，即可得到全局最长上升子序列长度。

复杂度分析：
时间复杂度：O(n^2)，其中 n 为数组 nums 的长度。动态规划的状态数为 n，计算状态 dp[i]时，需要 O(n) 的时间遍历 dp[0…i−1] 的所有状态，所以总时间复杂度为 O(n^2)。
空间复杂度：O(n)，需要额外使用长度为 n 的 dp 数组。

代码

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        if not nums:
            return 0
        dp = [1] * len(nums)
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
        return max(dp)