2018-10-09

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作者: carpediemmlf | 来源:发表于2018-10-09 19:05 被阅读0次

Product of two epsilons
$\epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = \left | \begin{array}{cccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn}\\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{array} \right |$
Contractions of epsilons
$\epsilon_{ijk} \epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} -\delta_{jn}\delta_{km}$
$\epsilon_{ijk} \epsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$
$\epsilon_{ijk} \epsilon_{ijk} = 2 \times 3 = 6$
gradient of a vector field
$\vec{\nabla}\phi = \hat{e_i}\frac{\partial}{\partial x_i}\phi$

${\rm d}\phi = \vec{\nabla}\phi \cdot {\rm d}\vec{r}$

directional derivative
$\hat{t} \cdot \vec{\nabla}\phi$
unit surface normal for $\phi = constant$
$\hat{n} = \frac{\vec{\nabla}\phi}{|\vec{\nabla}\phi|}$
the unit tangent to the curve given that s is the arc length
$\hat{t} = \frac{{\rm d}\vec{r(s)}}{{\rm d}s}$
Divergence
$\vec{\nabla}\cdot\vec{F}$
Curl
$\vec{\nabla}\times\vec{F}$
NB: $\hat{e}$ is only constant in Cartesian coordinates when calculating using vector differential operators

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