二叉树
- 二叉树也是一种动态的数据结构。
- 每个节点只有两个叉，也就是两个孩子节点，分别叫做左孩子，右孩子。
- 而没有一个孩子的节点叫做叶子节点。
- 每个节点最多有一个父亲节点，最多有两个孩子节点(也可以没有孩子节点或者只有一个孩子节点)。
- 二叉树不一定是“满”的。
- 一个节点/空也是一个二叉树。
二分搜索树 (Binary Search Tree)
二分搜索树是一颗二叉树，每个节点的左子树的值都小于该节点的值，每个节点右子树的值都大于该节点的值，任意一个节点的每棵子树都满足二分搜索树的定义。存储的元素必须有可比较性，一般二分搜索树不包含重复元素，二分搜索树天然的具有递归特性。
二分搜索树
相应操作
添加一个元素示例(Java)
向以node为根节点的树上添加一个元素, 并返回插入新节点后的二分搜索树的根节点
public class BinarySearchTree <E extends Comparable<E>>{
private class Node{
public E e;
public Node left, right;
public Node(E e){
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root;
private int size;
public BinarySearchTree(){
root = null;
size = 0;
}
public int size() {
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
//向二分搜索树中添加新的元素e，递归算法
public void add(E e){
root = add(root, e);
}
//向以node为跟的二分搜索树中插入元素e，递归算法
//返回插入新节点后的二分搜索树的根
private Node add(Node node,E e) {
if (node == null) {
size ++;
return new Node(e);
}
//如果相等 则不作处理
if (e.compareTo(node.e) < 0)
node.left = add(node.left, e);
else if (e.compareTo(node.e) > 0)
node.right = add(node.right, e);
return node;
}
// 向二分搜索树中添加新的元素e，非递归写法
public void add2(E e){
// 对二分搜索树是空的情况特殊处理
// 此时，直接让 root 指向新的节点即可
if(root == null){
root = new Node(e);
size ++;
return;
}
// 用 p 来跟踪待插入节点的上一个节点
// p 的作用相当于链表插入节点时，pre 的作用
Node p = root;
while(p != null){
// 如果待插入的值小于当前 p 节点的值
// 说明新插入的值要放在 p 的左子树
if(e.compareTo(p.e) < 0){
// 如果 p 的左子树为空，则在 p.left 上放入新的节点
if(p.left == null){
p.left = new Node(e);
size ++;
return; // 注意这里直接 return
}
// 否则 p = p.left
p = p.left;
}
// 如果待插入的值大于当前 p 节点的值
// 说明新插入的值要放在 p 的右子树
else if(e.compareTo(p.e) > 0){
// 如果 p 的右子树为空，则在 p.right 上放入新的节点
if(p.right == null){
p.right = new Node(e);
size ++;
return; // 注意这里直接 return
}
// 否则 p = p.right
p = p.right;
}
// 如果待插入的值等于当前 p 节点的值，说明二分搜索树中已经有这个值了
// 直接 return
else return;
}
}
}
查询一个元素示例
//看二分搜索树中是否包含元素e
public boolean contains(E e){
return contains(root, e);
}
//看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
private boolean contains(Node node, E e){
if (node == null)
return false;
if (e.compareTo(node.e) == 0)
return true;
else if (e.compareTo(node.e) < 0)
return contains(node.left, e);
else // e.compareTo(node.e) > 0
return contains(node.right, e);
}
遍历操作
- 深度优先遍历 :
- 前序遍历 : 对当前节点的遍历在对左右孩子节点的遍历之前, 遍历顺序 : 当前节点->左孩子->右孩子
- 中序遍历 : 对当前节点的遍历在对左右孩子节点的遍历中间, 遍历顺序 : 左孩子->当前节点->右孩子
- 后序遍历 : 对当前节点的遍历在对左右孩子节点的遍历之后, 遍历顺序 : 左孩子->右孩子->当前节点
- 广度优先遍历 :
- 层序遍历 : 按层从左到右进行遍历
前序遍历示例
//前序遍历 先访问节点 后访问左右子树
//二分搜索树的前序遍历
public void preOrder(){
preOrder(root);
}
//前序遍历以node为根的二分搜索树，递归算法
private void preOrder(Node node) {
if (node == null)
return;
System.out.println(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
//二分搜索树的非递归前序遍历
public void preOrederNR() {
Stack<Node> stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while (!stack.isEmpty()) {
Node cur = stack.pop();
System.out.println(cur.e);
// 由于栈是后入先出, 前序遍历是先左孩子, 再右孩子, 所以这里需要先将右孩子压入栈
if (cur.right != null)
stack.push(cur.right);
if (cur.left != null)
stack.push(cur.left);
}
}
前序遍历结果
中序遍历示例
//中序遍历 先访左子树 在访问节点 最后访问右子树
//二分搜索树的中序遍历 结果就是排序后得到的顺序
public void inOrder() {
inOrder(root);
}
//中序遍历以node为根的二分搜索树，递归算法
private void inOrder(Node node) {
if(node == null)
return;
inOrder(node.left);
System.out.println(node.e);
inOrder(node.right);
}
中序遍历结果
后序遍历示例
//后序遍历 先访左子树 在访问右子树 最后访问节点
//二分搜索树的后序遍历
public void postOrder() {
postOrder(root);
}
//后序遍历以node为根的二分搜索树，递归算法
private void postOrder(Node node) {
if (node == null)
return;
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
System.out.println(node.e);
}
后序遍历结果
层序遍历示例
广度优先遍历可以更快的找到问题的解，解决最短路径为题。
//二分搜索树的层序遍历 使用队列 广度遍历
//从左到右一层一层遍历
public void levelOrder() {
Queue<Node> q = new LinkedList<>();
q.add(root);
// 1. 首先根节点入队
// 2. 每次出队时, 都将当前节点的左右孩子先后入队
// 3. 如果队列为空的话, 则表示层序遍历结束
while (!q.isEmpty()) {
Node cur = q.remove();
System.out.println(cur.e);
if (cur.left != null)
q.add(cur.left);
if (cur.right != null)
q.add(cur.right);
}
}
照出队的顺序演示的遍历结果为 : 28 16 30 13 22 29 42
寻找最大最小元素示例
//寻找二分搜索树的最小元素
public E minimum() {
if (size == 0)
throw new IllegalArgumentException("BTS is empty");
return minimum(root).e;
}
//返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node) {
if (node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
//寻找二分搜索树的最大元素
public E maximum() {
if (size == 0)
throw new IllegalArgumentException("BTS is empty");
return maximum(root).e;
}
//返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
private Node maximum(Node node) {
if (node.right == null)
return node;
return maximum(node.right);
}
删除最小元素示例
- 如果最小值就是一个叶子节点, 直接删除该节点即可
- 如果最小值所在的节点还有右子树, 则用右子树的根节点替换当前节点即可
//从二分搜索树中删除最小值所在节点，返回最小值
public E removeMin(){
E ret = minimum();
root = removeMin(root);
return ret;
}
//删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
//返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){
if (node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
删除最大元素示例
- 如果最大值为叶子节点时, 直接删除该节点即可
- 如果最大值所在节点还有左子树时, 则使用最大值左子树的根节点替换当前节点即可
//从二分搜索树中删除最大值所在节点，返回最大值
public E removeMax() {
E ret = maximum();
root = removeMax(root);
return ret;
}
//删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
//返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMax(Node node) {
if (node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
node.right = removeMax(node.right);
return node;
}
删除任意节点
- 删除叶子节点, 直接删除即可
- 删除只有右子树的节点, 逻辑同删除最小值
- 删除只有左子树的节点, 逻辑同删除最大值
- 删除同时具有左右子树的节点
首先找到要删除的节点, 然后找到对应节点的前驱或者后继节点, 前驱就是指当前节点的左子树中最大的元素节点(<当前节点的最大节点), 后继就是指当前节点右子树中最小的元素节点(>当前节点的最小节点), 替换当前节点, 然后再删除要删除的节点，以下用后继节点为例
找到后继节点
后继节点左右子树赋值
后继节点替换要删除的节点，并删除原节点
代码示例
//二分搜索树中删除元素为e的节点
public void remove(E e){
root = remove(root, e);
}
//删除以node为根的二分搜索树中值为e的节点 递归算法
//返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node remove(Node node, E e){
if (node == null)
return null;
if (e.compareTo(node.e) < 0 ){
node.left = remove(node.left, e);
return node;
} else if (e.compareTo(node.e) > 0 ){
node.right = remove(node.right, e);
return node;
} else {
if (node.left == null) {
Node right = node.right;
node.right = null;
size --;
return right;
}
if (node.right == null) {
Node left = node.left;
node.left = null;
size --;
return left;
}
//待删除节点左右子树均不为空的情况
//找到比待删除节点大的最小元素，即待删除节点右子树的最小节点
//用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
二分搜索树的时间复杂度
二分搜索树时间复杂度
集合(Set)
- 不能放重复元素
用链表实现集合示例
//用链表实现集合
public class LinkedListSet<E> implements Set<E> {
private LinkedList<E> list;
public LinkedListSet() {
list = new LinkedList<>();
}
@Override
public int getSize() {
return list.getSize();
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return list.isEmpty();
}
@Override
public boolean contains(E e) {
return list.contains(e);
}
@Override
public void add(E e) {
if (!list.contains(e))
list.addFirst(e);
}
@Override
public void remove(E e) {
list.removeElement(e);
}
}
用二分搜索树实现集合示例
//使用二分搜索树实现集合
//性能优于使用链表实现的集合
public class BSTSet<E extends Comparable<E>> implements Set<E>{
private BinarySearchTree<E> bst;
public BSTSet() {
bst = new BinarySearchTree<>();
}
@Override
public int getSize() {
return bst.size();
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return bst.isEmpty();
}
@Override
public void add(E e) {
bst.add(e);
}
@Override
public boolean contains(E e) {
return bst.contains(e);
}
@Override
public void remove(E e) {
bst.remove(e);
}
}
集合的时间复杂度
集合的时间复杂度度
映射(Map)
- 存储(件，值)数据对的数据结构(key， value)
- 根据键(key)，寻找值(value)。
- 容易使用链表或者二分搜索树实现。
用链表实现映射
//用链表实现映射
public class LinkedListMap<K, V> implements Map<K, V> {
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node next;
public Node(K key, V value, Node next) {
this.key = key;
this.value = value;
this.next = next;
}
public Node(K key){
this(key, null, null);
}
public Node() {
this(null, null, null);
}
@Override
public String toString() {
return key.toString() + ":" + value.toString();
}
}
private Node dummyHead;
private int size;
public LinkedListMap() {
dummyHead = new Node();
size = 0;
}
@Override
public int getSize() {
return size;
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
private Node getNode(K key){
Node cur = dummyHead.next;
while (cur != null){
if (cur.key.equals(key))
return cur;
cur = cur.next;
}
return null;
}
@Override
public boolean contains(K key) {
return getNode(key) != null;
}
@Override
public V get(K key) {
Node cur = getNode(key);
return cur == null? null: cur.value;
}
@Override
public void add(K key, V value) {
Node node = getNode(key);
if (node == null){
dummyHead.next = new Node(key, value, dummyHead.next);
size ++;
} else {
//key相同时更新值
node.value = value;
}
}
@Override
public void set(K key, V newValue) {
Node node = getNode(key);
if (node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + "doesn`t exist");
node.value = newValue;
}
@Override
public V remove(K key) {
Node prev = dummyHead;
while (prev.next != null) {
if (prev.next.key.equals(key))
break;
prev = prev.next;
}
if (prev.next != null){
Node delNode = prev.next;
prev.next = delNode.next;
delNode.next = null;
size --;
return delNode.value;
}
return null;
}
}
用二分搜索树实现映射
import java.security.Key;
//使用二分搜索树实现映射
public class BSTMap <K extends Comparable<K>, V> implements Map<K, V>{
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root;
private int size;
public BSTMap(){
root = null;
size = 0;
}
@Override
public int getSize() {
return size;
}
@Override
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
@Override
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
private Node add(Node node, K key, V value) {
if (node == null) {
size ++;
return new Node(key, value);
}
//如果相等 则不作处理
if (key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if (key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // ==
node.value = value;
return node;
}
private Node getNode(Node node, K key){
if (node == null)
return null;
if (key.compareTo(node.key) == 0)
return node;
else if (key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else
return getNode(node.right, key);
}
@Override
public boolean contains(K key) {
return getNode(root, key) != null;
}
@Override
public V get(K key) {
Node node = getNode(root, key);
return node == null? null : node.value;
}
@Override
public void set(K key, V newValue) {
Node node = getNode(root, key);
if (node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + "doesn`t exist");
node.value = newValue;
}
@Override
public V remove(K key) {
Node node = getNode(root, key);
if (node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
//返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node) {
if (node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
//删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
//返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){
if (node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
//删除以node为根的二分搜索树中值键为Key的节点 递归算法
//返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node remove(Node node, K key){
if (node == null)
return null;
if (key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left, key);
return node;
} else if (key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
return node;
} else {
if (node.left == null) {
Node right = node.right;
node.right = null;
size --;
return right;
}
if (node.right == null) {
Node left = node.left;
node.left = null;
size --;
return left;
}
//待删除节点左右子树均不为空的情况
//找到比待删除节点大的最小元素，即待删除节点右子树的最小节点
//用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
}
映射的时间复杂度
映射的时间复杂度
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