当1+1=1，2+2=？

如果1加1等于1，2加2等于几？

自然数集是一个以1为初始元素，按+1运算定义后继元素的无穷集合，每一个自然数n都存在一个后继元素n+1, 例如，1的后继是2，2的后继是3，...

当1+1=1时，1的后继元素变为它自己，包括2在内的所有大于1的自然数都不再存在，于是，2+2这一运算无意义。

然而，当所有大于1的元素都被悉数摧毁，从仅剩一个孤零零的1的自然数集这一冰冷寂寥的系统中实在难以生长出有趣的故事来。

下面，我们尝试换一种角度来解读1+1=1这一假设：这一假设并不改变自然数的后继关系定义，而是定义了一种新的加法运算。

以示区别，新的加法运算用⊕表示，普通加法运算用+表示。于是，1⊕1=1， 2⊕2=3，3⊕3=5，...

这种新的加法运算有什么用呢？在基本乐理中，一度音程表示同音反复，两个二度音程相加为一个三度音程，两个三度音程相加为一个五度音程。由于这种新的加法运算正好可以描述音程的相加关系，我将它命名为"音程加法"。

音程加法服从交换律

证明：
a⊕b
= a+b-1
= b+a-1
= b⊕a

音程加法服从结合律

证明：
a⊕b⊕c
= (a+b-1)⊕c
= a+b-1+c-1
= a+(b+c-1)-1
= a+(b⊕c)-1
= a⊕(b⊕c)

在音程加法的基础上，可以定义音程乘法a⨂b为b个a相⊕，由
a⨂2 = a⊕a = a+a-1 = 2a-1
a⨂3 = a⊕a⊕a = (2a-1)⊕a
= (2a-1+a)-1 = 3a-2
猜想: a⨂b = ba - (b-1)

证明:
当b=1时，a⨂1=a, 猜想成立。
假设当b=n时猜想成立，即a⨂n = na - (n-1)
当b=n+1时，
a⨂(n+1)
= a⨂n⊕a
= (na-(n-1))⊕a
= (na-(n-1)+a)-1
= (n+1)a - n
= (n+1)a - ((n+1)-1)，
猜想也成立，由归纳法可知猜想对一切自然数成立。

音程乘法不服从交换律

证明:
3⨂2=5
2⨂3=4
3⨂2不等于2⨂3。

音程乘法不服从结合律

证明:
2⨂2⨂3=3⨂3=7
2⨂(2⨂3)=2⨂5=6
2⨂2⨂3不等于2⨂(2⨂3)。

最后，我们来证明音程加法和音程乘法服从分配律:
(a⊕b)⨂c
= (a+b-1)⨂c
= (a+b-1)c - (c-1)
= ac+bc-2c+1
= ac-(c-1)+bc-c
= a⨂c + bc-(c-1) -1
= a⨂c + b⨂c -1
= a⨂c⊕b⨂c