矩阵的逆 inverse

以下为MIT18.06 线性代数第20课笔记，记于2018年12月22日。

回顾推广后的代数余子式求行列式公式：

来看二阶矩阵的求逆公式：

再思考二阶矩阵中每个元素的代数余子式，注意其符号分布：。
对于a的代数余子式，我用表示。那么有。按顺序放在对应元素的位置：，转置后：。因此我们猜想：

其中，C表示由代数余子式组成的矩阵。现在来求证它，不难看出，只需要证明：

即：，其对角线符合代数余子式求行列式的公式，因此对角线的元素的值都等于。而其他位置的相当于用某一行的元素乘以另一行的代数余子式，其结果是0，这个证明如下：
设：


和仅第行不同，且的第行等于的第行，其他所有行相同。那么根据代数余子式求行列式公式有：

又因为中有相同的行，其行列式为0，且它的除第行以外的行与相同，也就是说，的第行代数余子式是相同的：

即可知，一行的元素与另一行的代数余子式乘积之和为0。命题得证。