矩阵的逆 inverse

作者: Paycation | 来源:发表于2018-12-24 22:57 被阅读21次

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以下为MIT18.06 线性代数第20课笔记，记于2018年12月22日。

回顾推广后的代数余子式求行列式公式：

$det=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+...+a_{in}C_{in}$

来看二阶矩阵的求逆公式：
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{vmatrix}d&-b\\-c&a\end{vmatrix}$

再思考二阶矩阵中每个元素的代数余子式，注意其符号分布： $\begin{vmatrix}+&-\\-&+\end{vmatrix}$ 。
对于a的代数余子式，我用 $C(a)$ 表示。那么有 $C(a)=d, C(b)=-c, C(c)=-b, C(d)=a$ 。按顺序放在对应元素的位置： $\begin{vmatrix}d&-c\\-b&a\end{vmatrix}$ ，转置后： $\begin{vmatrix}d&-b\\-c&a\end{vmatrix}$ 。因此我们猜想：

$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}C^{T}$

其中，C表示由代数余子式组成的矩阵。现在来求证它，不难看出，只需要证明：
$AC^T=det(A)I$
即： $\begin{vmatrix}a_{11}&...&a_{1n}\\a_{n1}&...&a_{nn}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c_{11}&c_{n1}\\...&...\\c_{1n}&c_{nn}\end{vmatrix}$ ，其对角线符合代数余子式求行列式的公式，因此对角线的元素的值都等于 $det(A)$ 。而其他位置的相当于用某一行的元素乘以另一行的代数余子式，其结果是0，这个证明如下：
设：
$det(A) = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\a_{j1}&a_{j2}&...&a_{jn}\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}$
$det(B) = \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\a_{i1}&a_{i2}&...&a_{in}\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{vmatrix}$
$det(A)$ 和 $det(B)$ 仅第 $j$ 行不同，且 $B$ 的第 $j$ 行等于 $A$ 的第 $i$ 行，其他所有行相同。那么根据代数余子式求行列式公式有：
$det(A)=a_{j1}C_{j1}+...+a_{jn}C_{jn}$
又因为 $B$ 中有相同的行，其行列式为0，且它的除第 $j$ 行以外的行与 $A$ 相同，也就是说， $A, B$ 的第 $j$ 行代数余子式是相同的：
$det(B)=a_{i1}C_{j1}+...+a_{in}C_{jn}=0$
即可知，一行的元素与另一行的代数余子式乘积之和为0。命题 $A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}C^{T}$ 得证。

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