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离散数学及应用——谓词和量词

离散数学及应用——谓词和量词

作者: DrChenZeng | 来源:发表于2018-09-30 14:40 被阅读0次

    半路出家的android程序员,内功修为需要累积,先是数学基础,再到数据结构,量变到质变,直到打通任督二脉,写代码时能用数学的模型命题,再已数学的定理进行算法删减优化,才能成为万中无一的高手。

    谓词

    含变量的语句
    比如:x= y+3;就是一个谓词

    量词

    • 量化,从命题函数产生命题
    • 全称量化,一个谓词在所考虑的每一对象中都为真。
    • 存在量化,一个谓词对所考虑中的一个或多个对象成真。
    • 谓词演算,处理谓词和量词的逻辑领域称为谓词演算。
    • 全称量词,许多数学命题对于某一性质在变量的某一特定域内的所有值为真,
    • 这一特定域叫变量的论域。
    • 存在量词,许多数学命题对于某一性质在变量的某一特定域内的存在值为真
    • 其他量词,唯一量词。

    符号

    谓词P(x)
    ∀:全称量词∀xP(x)表示P(x)的全称量化
    ∃:存在量词


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    • ∀x<0(x²>0)如何解释
      对于每一个实数x<0,则x²>0 ,意思每一个负实数的平方是正实数。等价于∀x(x<0→x²>0)
    • ∀y≠0(y³≠0)
      每一个y≠0的实数,y³≠0
    • ∃z>0(z²=2)
      存在一个实数z>0,使z²=,意思有一个正数是2的平方根,等价于Ez(z>0∧z²=2)

    量词优先级

    量词的优先级最高

    量词的逻辑等价

    也是由最终的真值判断的
    谓词P(x)和Q(x)
    ∀x(P(x)∧Q(x)) ≡ ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)
    分析:
    设: ∀x(P(x)∧Q(x)) 为真 ,论域为a
    意味着在 a论域中P(a) Q(x)为真,则 ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)为真
    设: ∀xP(x) ∧ ∀xQ(x)为真,论域a
    ∀xP(x)为真, 且∀xQ(x)为真, a论域中P(a) Q(x)为真,∀x(P(x)∧Q(x)) ;

    否定量化表达式

    • ∀x(P(x) 设x论域班上
      班上每一个同学学过一个微积分课
      否定量化
      班上有一个同学没有学过微积分课
      ∃x¬P(x)


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    • 证明¬∀x(P(x)→Q(x)) 和EX(P(x) ∧¬Q(x))等价
      ¬∀x(P(x)→Q(x))
      德摩根律得: ¬∀x(¬P(x)VQ(x))
      量词德摩根律得:∃x¬(¬P(x)VQ(x))
      德摩根律得:∃x(P(x)∧¬Q(x))
      这些公式直接用于if()判断的简化,性能和代码的清洁程度都会很高。

    翻译语句为逻辑表达式

    • 对每个人x,如果x是班上的学生,那么x学过微积分课。
      S(x)表示x在这个班上
      C(x)表示x在学过微积分课
      ∀x(S(x)→C(x))注意:不能∀x(S(x)∧C(x)),这会表示所有人都是班上的同学并都学过微积分课
    • “所有狮子都是凶猛的”
      “有些狮子不喝咖啡”
      “有些凶猛的动物不喝咖啡”
      令:
      P(x) x是狮子
      Q(x) x是凶猛的
      R(x)x喝咖啡
      所有动物的集合为论域
      表示:
      ∀x(P(x)→Q(x))
      ∃x(P(x)∧¬R(x))
      ∃x(Q(x)∧¬R(x));
      二的表达式不能为:∃x(P(x)→¬R(x)) 会有歧义,有一些是狮子不喝咖啡,还有一层意思是不是狮子就喝咖啡,而正确的是,有一些是狮子且不喝咖啡
    • 所有蜂鸟都五彩斑斓
      没有大鸟以密为生
      不以密为生的鸟都色彩单调
      蜂鸟都是小鸟
      设:
      P(x)x是一只蜂鸟
      Q(x)x是大鸟
      R(x)x以密为生
      S(x)x五彩斑斓
      所有的鸟为论域
      表示:
      ∀x(P(x) →S(x))
      ¬∃x(Q(x)∧R(x))
      ∀x(¬R(x)→¬S(x))
      ∀x(P(x)→¬Q(x))

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