校验码

码距： 就是单个编码A：00而言，其码距为1，因为其只需要改变一位就变成另一个编码。在两个编码中，从A码到B码转换所需要改变的位数称为码距，如A：00 要转换为B：11，码距为2。一般来说，码距越大，越利于纠错和检错。

奇偶校验码： 在编码中增加1位校验码位来使编码中的1的个数位奇数（奇校验）或者偶数(偶校验)，从而使码距变位2.

奇校验：编码中，含由奇数个1，发送给接收方，接收方收到后，会计算收到的编码中有多少个1，如果使奇数个，则无误，是偶数个，则有误。

偶校验同理，只是编码中有偶数个1，由上述，奇偶校验只能检1位错，并且无法纠错。

循环冗余校验码CRC

CRC只能检错，不能纠错，其原理是找出一个能整除多项式的编码，因此首先要将原始报文除以多项式，将所得的余数作为校验位加在原始报文之后，作为发送数据发给接收方，其编码格式为：

1至 r位为校验位， r+1至n 位为 数据位

由次可知，CRC由两部分组成，左边为信息码(原始数据),右边为校验码。校验码是由信息码产生的，校验码位数越长，校验码位数越长，校验能力越强。求CRC编码是，采用的是模2运算（按位运算，不发生借位和进位）

例如：原始报文为” 1100 1010 101“， 其生产多项式为： X^4+ X^3+X+1, 对齐进行CRC编码后的结果为？

分析解答：首先根据多项式得出除数 11011，在原始多项式后面加上多项式最高指数个数个0， 即 4个0，(x^4),和除数进行模2除法，一直商1，最终得出4位余数0011

最终编码: 1100 1010 101 0011

接收方将收到的数据与多项式模2运算，若余数为0，说明校验码正确，数据传输正确。

海明校验码

海明码：本质也是利用奇偶校验性来检错和纠错的检验方法，构成的方法是在数据之间的确定位置插入K个校验位，通过过扩展码距实现检错和纠错。

设数据位是 n位， 校验位是 k ，则 n和k 必须满足如下关系： 2^K>= n+k

例如： 求信息 1011 的海明码

分析步骤:

校验位的位数和具体的数据位的位数之间的关系，所有位都编号，从最低位编号，从1开始递增，校验位处于2的n(n=0,1,2,3...)次方中，即处于第1，2，4，8，16...位上，其余位才能填充真正的数据位，若信息数据为 1011，则可知，第1，2，4 位为校验位，第3，5，6，7 位为数据位

2^k>= n+k +1 

n=4 为数据位

k=1 不成立

k=2 不成立

k=3 成立 8= 4+ 3+1

每一位校验码的计算公式：

需要确定每一位校验码到底校验码哪些信息位，将信息位(即编号)拆分称二进制表示，如7=4+2+1 ，由第4位校验位r2和第2位校验位r1和第1位校验位r0 共同校验。同理第6位数据6=4+2 ，第5位数据位 5=4+1，第3位数据位3=2+1 ，前面知道，这些2的n次方都是校验位，可知，第4位校验位校验第7，6，5，三位数据，，第4位校验位r2等于这三位数据的值异或，第2位和第1位校验位计算原理相同。

r2 = I4 ^ I3 ^ I2 = 1 ^0 ^1= 0 --- 信息位异或计算得来的

r1 =I4 ^ I3 ^ I1 = 1^ 0 ^1 =0

r0 = I4 ^ I2 ^ I1= 1^ 1 ^1 =1

1 0 1 1 0 1 0 1

检错和纠错原理

接收方收到海明码之后，会将每一位校验位与其校验的位数分别异或，即做如下三组运算：

r2^ I4 ^ I3 ^ I2

r1^ I4 ^ I3 ^ I1

r0^ I4 ^ I2 ^ I1

如果是偶检验，那么运算得到的结果应该全为0，如果是奇校验，应该全位1，才是正确的。纠错就是找出错误位，将该位逆转。