逻辑回归算法

1、算法简介

1-1、算法思路
逻辑回归算法，名字虽然包含回归，但其实起到的作用是分类。如何生效的呢？将样本的特征与样本的标签能发生的概率联系起来，样本标签表达的就是某个事件。比如：客户信用是否有风险，逻辑回归只能解决二分类问题，也就是样本标签能发生的概率大于0.5的话，意味着该客户信用有问题；样本标签能发生的概率小于0.5，该客户信用没有问题。

因为逻辑回归问题最终输出的值域在（0,1），而真实的输出结果是在(-infinity, +infinity)，怎么将(-infinity, +infinity)值域转到（0,1）就是第一步要考虑的问题。解决这个问题，通常会使用一个名为Sigmoid的函数。

Sigmoid函数

如图所示，Sigmoid函数-σ可以方便的将全体实数范围的值转换成[0, 1]之间的概率值。当横轴大于0时，概率值大于0.5；当横轴小于0时，概率值小于0.5。

逻辑回归的表达式 p=σ(θt · Xb)，参数θt就成了要求的变量。

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1-2、图示

逻辑回归

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1-3、算法流程
1--- 由表达式 p=σ(θt · Xb)可知，θt为要求的变量，但由数学推导很难推导出结果，所以此次求解得用梯度下降。
2--- 梯度下降的前置条件是有一个损失函数，由于输出的标签值最终转换为0或1，可知当标签值为1时，输出的结果越小，损失越大；可知当标签值为0时，输出的结果越大，损失越大。
3--- 当把两种情况结合在一起后，可以得出一个表达式，即为最终的损失函数，详细推导过程
4--- 利用梯度下降，求出最优的θt解

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1-4、优缺点

1-4-1、优点

a、实现简单，广泛的应用于工业问题上；
b、分类时计算量非常小，速度很快，存储资源低；
c、 参数代表每个特征对输出的影响，可解释性强；
d、易于理解和实现。

1-4-2、缺点

a、当特征空间很大时，性能不是很好；
b、容易欠拟合，精度不高；
c、只能处理两分类问题（在此基础上衍生出来的softmax可以用于多分类），且必须线性可分；
d、对于非线性特征，需要进行转换。

2、实践

2-1、采用bobo老师创建简单测试用例

# 逻辑回归算法
import numpy as np
from .metrics import accuracy_score

class LogisticRegression:

    def __init__(self):
        """初始化Logistic Regression模型"""
        self.coef_ = None
        self.intercept_ = None
        self._theta = None

    def _sigmoid(self, t):
        return 1. / (1. + np.exp(-t))

    def fit(self, X_train, y_train, eta=0.01, n_iters=1e4):
        """根据训练数据集X_train, y_train, 使用梯度下降法训练Logistic Regression模型"""
        assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0], \
            "the size of X_train must be equal to the size of y_train"

        def J(theta, X_b, y):
            y_hat = self._sigmoid(X_b.dot(theta))
            try:
                return - np.sum(y*np.log(y_hat) + (1-y)*np.log(1-y_hat)) / len(y)
            except:
                return float('inf')

        def dJ(theta, X_b, y):
            return X_b.T.dot(self._sigmoid(X_b.dot(theta)) - y) / len(y)

        def gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):

            theta = initial_theta
            cur_iter = 0

            while cur_iter < n_iters:
                gradient = dJ(theta, X_b, y)
                last_theta = theta
                theta = theta - eta * gradient
                if (abs(J(theta, X_b, y) - J(last_theta, X_b, y)) < epsilon):
                    break

                cur_iter += 1

            return theta

        X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])
        initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])
        self._theta = gradient_descent(X_b, y_train, initial_theta, eta, n_iters)

        self.intercept_ = self._theta[0]
        self.coef_ = self._theta[1:]

        return self

    def predict_proba(self, X_predict):
        """给定待预测数据集X_predict，返回表示X_predict的结果概率向量"""
        assert self.intercept_ is not None and self.coef_ is not None, \
            "must fit before predict!"
        assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_), \
            "the feature number of X_predict must be equal to X_train"

        X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])
        return self._sigmoid(X_b.dot(self._theta))

    def predict(self, X_predict):
        """给定待预测数据集X_predict，返回表示X_predict的结果向量"""
        assert self.intercept_ is not None and self.coef_ is not None, \
            "must fit before predict!"
        assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_), \
            "the feature number of X_predict must be equal to X_train"

        proba = self.predict_proba(X_predict)
        return np.array(proba >= 0.5, dtype='int')

    def score(self, X_test, y_test):
        """根据测试数据集 X_test 和 y_test 确定当前模型的准确度"""

        y_predict = self.predict(X_test)
        return accuracy_score(y_test, y_predict)

    def __repr__(self):
        return "LogisticRegression()"

# 创建测试数据
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets

iris = datasets.load_iris() # 从sklearn 引入鸢尾花数据

X = iris.data
y = iris.target

X = X[y<2,:2] # 只取前两个label的前两个特征，便于画图
y = y[y<2]

plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1], color="red")
plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1], color="blue")
plt.show() # 见 plt.show1

plt.show1

log_reg = LogisticRegression()
log_reg.fit(X_train, y_train)

log_reg.coef_
# array([ 3.01796521, -5.04447145])

log_reg.intercept_
# -0.6937719272911228