疑问

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作者: 来到了没有知识的荒原 | 来源:发表于2021-04-14 20:50 被阅读0次

为什么因果图上去掉了那条边，就意味着让未服药的女性也服了药。或者说怎么通过去了一条边达到了RCT（随机对照实验的效果）？

2021-09-07

这里有10条数据：

X(穿鞋睡)	Y(喝酒)	Z(头疼)
1	1	1
1	1	1
1	1	1
1	1	1
0	0	0
0	0	0
0	0	0
0	0	0
1	0	0
0	1	1

计算使用干预和不使用干预的ATE（average treatment effect），也就是estimate causal effect

不干预：（计算条件概率）

$ATE=E[Y|X=1]-E[Y|X=0]$
（实际上 $E[Y|X=1]-E[Y|X=0]$ 叫associational difference， $E[Y(1)]-E[Y(0)]$ 才是ATE（或者causal difference））
计算 $E[Y|X=1]=4/5$
$\begin{align} E[Y|X=1] & =P(Y=1|X=1)*1 + P(Y=0|X=1) * 0 \\ & =P(Y=1|X=1) \\ & =\sum_{z} P(Y=1,z|X=1) P(z) \\ & =\sum_{z} P(Y=1|z,X=1) P(z|X=1) \\ & =P(Y=1|Z=1,X=1) P(Z=1|X=1) +P(Y=1|Z=0,X=1)P(Z=0|X=1) \\ & =1 * 4/5+ 0* 1/5 = 4/5 \end{align}$

计算 $E[Y|X=0]=1 * 1/5 + 0 * 4/5 = 1/5$

$ATE=E[Y|X=1]-E[Y|X=0] =3/5$

其中
$P(Y=1|Z=1,X=1) =1 \\ P(Y=1|Z=0,X=1)=0 \\ P(Y=1|Z=1,X=0) =1 \\ P(Y=1|Z=0,X=0) =0 \\$

下面还要用到

干预：（do-operation）

$ATE=E[Y|do(X=1)]-E[Y|do(X=0)] \\$

计算 $E[Y|do(X=1)]=4/5$

\begin{align} E[Y|do(X=1)] & =P(Y=1|do(X=1))*1 + P(Y=0|do(X=1)) * 0 \\ & =P(Y=1|do(X=1)) \\ & =E_{z}[ P(Y=1|z,X=1)] （这一步来源于上图）\\ & =\sum_{z} P(Y=1|z,X=1) P(z) \\ & =P(Y=1|Z=1,X=1) P(Z=1) +P(Y=1|Z=0,X=1) P(Z=0)\\ & =1 * 1/2+ 0* 1/2= 1/2\\ \end{align}

计算 $E[Y|do{X=0}]=1 * 1/2 + 0 * 1/2 = 1/2$

$ATE=E[Y|do(X=1)]-E[Y|do(X=0)] =0$

总结

可以看出来，不用干预，得到的ATE是3/5，表示存在X对Y因果效应，这当然是错误的，因为被Z混淆了。

使用干预后，得到的ATE是0，表明X对Y没有因果效应。

$E[Y|X=1] = P(Y=1|Z=1,X=1) P(Z=1|X=1) +P(Y=1|Z=0,X=1) P(Z=0|X=1)$

$E[Y|do(X=1)] = P(Y=1|Z=1,X=1) P(Z=1) +P(Y=1|Z=0,X=1) P(Z=0)$

两个公式的区别就是下面 $P(Z|X)$ 变成 $P(Z)$ 了。一方面是do之后，backdoor没了，X和Z独立，所以 $P(Z|X)=P(Z)$ ，另一方面： $P(Z=1)=P(Z=1|X=1)P(X=1) + P(Z=1|X=0)P(X=0)$ ，相当于如果让 $P(Z=1|X=0)$ 强行等于 $P(Z=1|X=1)$ ，就达到了 $P(Z=1)=P(Z=1|X=1)$ ，也就是“修改了数据”，让数据中没有穿鞋睡的人穿鞋了，也就是pearl说的，条件概率是改变看世界的角度，干预do改变了世界。

疑问

我们通过对已观测的数据进行干预，得到的ATE，和我们真正进行随机对照试验（RCT）后得到的ATE有什么本质上的区别？（跟我开头那个疑问有点联系）

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