<h1>Jackknife & Bootstrap</h1>
本文用于课后复习，简单明了的记录自己学习的东西，数学不太严谨，请多多指教。
这篇文章仅介绍Jackknife，Bootstrap请看<a>这里</a>。
Jackknife以及Bootstrap均是重抽样（resample）的一种方法。
那么为什么要使用重抽样呢？
假如我们想要统计初中生身高的平均值，由于能采取的样本有限（比如在一所中学中抽取了200名学生）。自然而然地你将两百个身高平均之后得出答案（比如说170cm），那么我就会质疑这个结果的准确性。
你想要向我证明结果的准确性，要怎么办呢？我们只有样本，也只能在样本上下文章。于是你灵光一闪，那我们不如用样本的样本来进行统计。具体的，你在两百个数据中随机抽取150个作为一组，这样有放回的抽取10次，那么可以得到10组1500个数据。这样我们就可以计算出每一组身高的均值以及他们的方差。然后你用这些数据去汇报：“看，1500个数据，我算出了均值和方差，同时可以算出置信区间，你没理由不相信我了！”
这里用样本的样本进行统计，其实就是重抽样。那么下面就是对重抽样的两种方法Jackknife和Bootstrap进行介绍。
## Jackknife
### <font color = red>方差</font>
Jackknife又叫做刀切法，那么怎么切呢？
我们将数据随机切出去一个，用剩余的作为一组新数据。200个学生用Jackknife随机剔除一个，剩余199个学生作为新的一组。
$\hat{\theta}=s(x)$ 表示对样本$x$要估计的参数$\hat{\theta}$ ，<font color = red>这里我们可以看作要估计<b>均值</b></font>，利用刀切法估计的参数表示为$\hat{\theta_{(i)}}=s(x_{(i)})$，其中$i$表示为此次估计剔除了第$i$个样本后进行估计$(x_1,x_2...x_{i-1},x_{i+1},...,x_n)$。即：
$$
\begin{aligned}
\hat{\theta_{(i)}}=s(x_{(i)})
&=\frac{1}{n-1}\sum_{j\neq i}x_j\\
&=\frac{n\bar{x}-x_i}{n-1}
\end{aligned}
$$
这里$\bar{x}$是样本的均值，并且记$\hat{\theta_{(·)}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\hat{\theta_{(i)}}$，也就是重抽样后所有组进行估计后得到的估计值的均值。
自然而然地可以得到他们的方差，我们记作$\hat{se}_{jack}$:
$$\hat{se}_{jack}=\sqrt{\frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n(\hat{\theta_{(i)}}-\hat{\theta_{(·)}})} $$
在这里我们要计算样本的均值，所以先进行推导：
$$
\begin{aligned}
\hat{\theta_{(·)}}
&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\hat{\theta_{(i)}}\\
&= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{n\bar{x}-x_i}{n-1} \\
&=\frac{1}{n}(\frac{n^2\bar{x}}{n-1}-\frac{\sum_ix_i}{n-1})\\
&=\frac{n\bar{x}-\bar{x}}{n-1} = \bar{x}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\therefore\hat{se}_{jack}&=\sqrt{\frac{n-1}{n}\sum_{i=1}^n(\hat{\theta_{(i)}}-\hat{\theta_{(·)}})^2}\\
&= (\frac{n-1}{n}\times\sum\frac{(x_i-\bar{x})^2}{(n-1)^2})^\frac{1}{2}\\
&=(\frac{1}{n(n-1)}\sum(x_i-\bar{x})^2)^\frac{1}{2}\\
&=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\end{aligned}
$$
也就是说“样本的样本”的方差为$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，这与我们之前所学的$se(\bar{x})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$相同（$\sigma$是样本的标准差，就是那200个学生的标准差）。
由于我们重抽样出多组新的数据，对于每一组数据都有一个均值，那么这些均值的方差也就有了意义。
---
### <font color = red>偏差</font>
接下来对$\hat{\theta_{(·)}}$是否无偏（bias）进行讨论。
如果$\hat{\theta}=s(x)$是$\theta$的无偏估计，即$E(\hat{\theta}) = \theta$，那么：
$$
\begin{aligned}
E(\hat{\theta_{(·)}})&=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\hat{\theta_{(i)}})\\
&=\frac{1}{n}E(\sum_{i=1}^n\hat{\theta_{(i)}})\\
&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE_\theta(\hat{\theta_{(i)}})\\
&=E(\hat{\theta_{(i)}})\\
&=\theta \leftarrow \textcolor{red}{E(\hat{\theta})}
\end{aligned}
$$
那么可以看出$E(\hat{\theta_{(·)}})$也是无偏的。
如果$\hat{\theta}=s(x)$是有偏的，记：
$$
\hat{bias}_{jack}(\hat{\theta})=(n-1)(\hat{\theta_{(·)}}-\hat{\theta})
$$
可以理解为<font color = red>每组数据的偏差之和</font>。
那么经过偏差修正，我们可以得到（bias corrected jackknife estimator）:
$$
\hat{\theta}_{jack} = \hat{\theta}-\hat{bias}_{jack}(\hat{\theta})
$$
有偏差的估计减去他的偏差就可以得到无偏差的估计$\hat{\theta}_{jack}$。
---
### <font color = red>Pseudo-values</font>
此外，还有一个叫pseudo-values的东西来实现jackknife。他被看作是一个无偏的估计（感觉就和$\hat{\theta}_{jack}$是一种东西）。
我们定义：$ps_i=n\varphi_n(X)-(n-1)\varphi_{n-1}(X_{(i)})$
或者：$ps_i=\varphi_n(X)-(n-1)(\varphi_n(X)-\varphi_{n-1}(X_{(i)})$
这个公式与$\hat{\theta}_{jack} = \hat{\theta}-\hat{bias}_{jack}(\hat{\theta})$简直一摸一样。。。。
其中$\varphi_n(X)$是对n个样本进行的估计，$\varphi_{n-1}(X_{(i)})$是对缺少第$i$个数据的样本进行估计，$ps_i$指第$i$个pseudo-value的估计。
那么n个pseudo-value估计的均值为：
$$
\begin{aligned}
\overline{ps}&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nps_i\\
&=\frac{1}{n}(\sum (n\hat{\theta}-(n-1)\hat{\theta_{(i)}}))\\
&=\frac{1}{n}(n^2\hat{\theta}-n(n-1)\hat{\theta_{(·)}})\\
&=n\hat{\theta}-(n-1)\hat{\theta_{(·)}}\\
&=\hat{\theta}_{jack}
\end{aligned}
$$
由此可以证明此估计确实是<font color = red>无偏</font>的。
同样的，我们来计算他的方差：
$$
\begin{aligned}
s^2_{ps-jack}(ps_i) &= \frac{1}{n-1}\sum(ps_i-\overline{ps})^2\\
&=\frac{1}{n-1}\sum(n\hat{\theta}-(n-1)\hat{\theta_{(i)}}-\hat{\theta}_{jack})^2\\
&=\frac{1}{n-1}\sum(n\hat{\theta}-(n-1)\hat{\theta_{(i)}}-n\hat{\theta}+(n-1)\hat{\theta_{(·)}})^2\\
&=\frac{1}{n-1}\sum((n-1)\hat{\theta_{(·)}}-(n-1)\hat{\theta_{(i)}})^2\\
&=(n-1)\sum(\hat{\theta_{(·)}}-\hat{\theta_{(i)}})^2\\
\end{aligned}
$$
而对于$\overline{ps}$来说，其标准差为：
$$
\begin{aligned}
\hat{se}_{ps-jack}(\overline{ps})&=\frac{\hat{se}_{ps-jack}(ps_i)}{\sqrt{n}}\\
&=\sqrt{\frac{(n-1)\sum(\hat{\theta_{(·)}}-\hat{\theta_{(i)}})^2}{n}}
\end{aligned}
$$
可以看到此公式与上面非pseudo-value方法里的$\hat{se}_{jack}$相同，即：
$$
\hat{se}_{ps-jack}(\hat{\theta})=\hat{se}_{jack}(\hat\theta)
$$
---
### 置信区间
可以很简单的得到：
$$
CI = [\hat\theta\pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\hat{se}_{jack}(\hat\theta)]
$$
对于Jackknife就介绍到这里，过几天写一篇文章总结Bootstrap，现在就很迷茫，推导公式之后也记不住，不知道有什么好的方法可以扎扎实实的学习统计这门课。共勉吧。
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