第五讲 —— 转置、置换、向量空间
1. 置换与转置
1.1 置换
置换矩阵，记为，是用来完成行互换的矩阵。
，该描述包含了存在行互换的消元，
就是表示行互换的矩阵，它将各行互换为正确的顺序，互换后主元位置不会再出现0的情况（
为任意可逆矩阵）。置换矩阵，是行重新排列了的单位矩阵。
置换矩阵的个数为
。所有置换矩阵均可逆（因为各行还原后能够得到单位阵），而且其逆矩阵与其转置相等。
。
1.2 转置和对称
有矩阵。写成公式形式：
。
对称矩阵（symmetric matrix），对称表示，转置以后该矩阵没有改变，即，如
。有长方矩阵
（
代表rectangular），
永远得对称矩阵。
。
2. 向量空间及其子空间
向量空间（vector spaces），空间表示有很多向量，一整个空间的向量，但并不是任意向量的组合都能称为空间，空间必须满足一定的规则，必须能够进行加法和数乘运算，必须能够进行线性组合。
，讨论的是实数，向量用两个实数表示。所以这里均为二维向量、实向量。
…
水平表示第一个分量，竖直表示第二个分量，整个平面则为，可以把
称为一个平面，"x-y plane"。所有向量空间必须包含0向量。
，由所有三维实向量组成的空间。
，包含所有的n维向量，是列向量的形式，且它们的分量均为实数。
向量空间的性质，以为例，向量两两相加仍在
中，数乘某向量仍在
中，取线性组合仍在
中，对于
也是一样。
向量空间必须对数乘和加法两种运算是封闭的，或者说对线性组合封闭，
的向量子空间（subspace）：
-
自身
- 穿过原点的直线，
- 只包含0向量，
的向量子空间（subspace）：
-
自身
- 穿过原点的平面
- 穿过原点的直线
- 只包含0向量
关于列空间（column space），举例，各列属于
，所有的线性组合构成一个子空间，只要包含了所有的线性组合，那么就必然得到向量子空间，也称为“列空间”，记作
。
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