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南开大学考研高代真题精粹

南开大学考研高代真题精粹

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-03-21 10:51 被阅读0次

2004

1.设n阶行列式\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\ldots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right|=1且满足a_{i j}=-a_{j i}, i, j=1,2, \cdots, n对任意b，求n阶行列式\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}+b} & {a_{12}+b} & {\cdots} & {a_{1 n}+b} \\ {a_{21}+b} & {a_{22}+b} & {\cdots} & {a_{2 n}+b} \\ {\cdots} & {\ldots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n 1}+b} & {a_{n 2}+b} & {\cdots} & {a_{n n}+b}\end{array}\right|=?
5.给定\mathbb{R^2}的标准度量。求出\mathbb{R^2}中所有保持下列正方形

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（其中A=（1，1），B=（-1，1），C=（-1，-1），D=（1，-1）））整体不变（即正方形四条边上的点经过变换后仍落在这四条边上）的正交变换.
6.（20分）设 V 为 n 维复线性空间， M 是 V 上一些线性变换组成的非空集合.已知 M 中的元素没有非平凡的公共不变子空间。又线性变换 B 满足 A B=B A, \forall A \in M 证明：必存在复数使得 B=\lambda I ，其中 I 为恒等变换.
8.（15分）在实 n 维线性空间 R^n 中是否可能存在线性变换 A 满足 A^{2}+I=0 其中 I 为单位变换.证明你的结论.

2005

二、设齐次线性方程组\left\{\begin{array}{l}{x_{2}+a x_{3}+b x_{4}=0} \\ {-x_{1}+c x_{3}+d x_{4}=0} \\ {a x_{1}+c x_{2}-e x_{4}=0} \\ {b x_{1}+d x_{2}-e x_{3}=0}\end{array}\right.的一般解以x_3,x_4为自变量。
（1）求a，b，c，d，e满足的条件；
（2）求齐次线性方程组的基础解系。
四.（20分）设\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{AX}和\mathrm{g}\left(\mathrm{y}_{1}, \mathrm{y}_{2}, \ldots, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{Y}^{\prime} \mathrm{B} \mathrm{Y}均为实数域上n元二次型，且存在实数域上n阶方阵C和D使得A=D'BD，B=C'AC，证明：\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \ldots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)和\mathrm{g}\left(\mathrm{y}_{1}, \mathrm{y}_{2}, \ldots, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)具有相同的规范形
八.（15分）设V为数域P上n维线形空间（n≥1）.证明：必存在V中一个无穷的向量序列\left\{\alpha_{\mathrm{i}}\right\}_{\mathrm{i}=1}^{\infty}使得\left\{\alpha_{\mathrm{i}}\right\}_{\mathrm{i}=1}^{\infty}中任何n个向量都是V的一组基.

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