线性代数笔记09

第九节

线性相关性

概念：
线性无关，线性相关，张成生成（span），向量空间的基、维数

我们说向量组是线性无关的，线性相关的，而不会用来形容矩阵

向量组线性无关，向量组生成一个空间，向量组作为一个基，维数是一个特定的数值

线性无关性（独立性，independence）
问题：向量是线性无关的？
如果不存在结果为零向量的组合，向量组线性无关（除了系数全为0）

重写：
当向量是矩阵A的列向量，他们什么时候是线性无关的？
当矩阵A的零空间（nullspace）是零向量时。
当矩阵A的零空间存在非零向量时，它们时线性相关的（dependent）

rank=n，秩为n时，，线性无关
rank<n，存在自由变量，线性相关

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span

向量张成（span）一个空间，意味着：该空间包含这些向量的所有线性组合

那么该有最少多少个线性无关的向量能张成一个空间呢？

向量的个数足够，但是又不会太多。

这就带出基的概念。
基，basis：向量空间的一组基是指：一系列的向量，又两个性质：

1. 它们线性无关
2. 它们能张成该空间

例子：
空间是
则基是：
但是这不是唯一的一组基，另一组基：？（有问题的，因为从行来看，前两行就是成比例的，所以，行向量就不是线性无关的，所以，整个矩阵肯定不是可逆的，所以它的列向量肯定也不是线性无关的）

中，n个向量要构成基，以这n个向量为列的nxn的矩阵是：可逆的。

所有的基都有一个特点：向量的个数是一定的，就是n个。
即：给定空间的基向量的个数相等。这个个数，就称为空间的“维数”

review一下四个定义：

1. 线性无关：考察线性组合不为零
2. 生成：考察所有的线性组合
3. 基：是一组线性无关的向量，并生成空间
4. 维数：表示基向量的个数

例子：空间是,
则:

零空间的维数