009-数据结构与算法-树和二叉树

作者: 沉默Coder | 来源:发表于2020-04-26 17:38 被阅读0次

什么是树形结构？

前面我们所说的栈和队列是一种线性结构，这一章我们讨论的树则是一种非线性的数据结构。
在了解树之前，我们先来了解一些专用名词：

结点：树中的一个独立单元，包含一个数据元素以及若干指向其他子树的分支
结点的度：结点拥有的子树数称为结点的度
树的度：数的度是数内各结点度的最大值
叶子：度为0的结点称为叶子或终端结点
非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点，除了根结点以外，非终端结点也称为内部结点
有序树和无序树：如果将树的结点的各子树看成从左到右是有次序的（即不能互换）则称该树为有序树，否则是无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。
结点的高度：结点到叶子结点的最长路径（边数）
结点的深度：根结点到这个结点所经历的边的个数

二叉树

有且仅有一个称为根结点
除了根结点以外的其余结点分为两个互不相交的自己子集，T1,T2.分别称为T大左子树和右子树，且T1和T2本身都是二叉树（如下图）

二叉树

二叉树的特性

二叉树的每个结点至多只有两颗子树（二叉树不存在度大于2的结点）。所以二叉树中不存在大于2的结点。

注意：不是只有两颗子树，而是最多只有两颗子树。二叉树中没有子树或者只有一颗子树也是可以的

二叉树的子树有左右之分，起次序是不能任意颠倒的。
即使只有一颗子树，也需要区分左子树还是右子树

对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<= i <= n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点二叉树中位置完全相同。则这颗二叉树成为完全二叉树。

满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树
完全二叉树的所有结点与同样深度的满二叉树，他们按照层序编号相同的结点一一对应

完全二叉树特性

叶子结点只能出现在最下两层
最下层叶子结点一定集中在左部链接
如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况
同样节点数的二叉树，完全二叉树的度最小

上面我们介绍了树，二叉树的一些基本概念，接下来我们采用顺序存储的方式来实现一个二叉树

一些参数的定义

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */

typedef int Status;        /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int CElemType;      /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点  */
CElemType Nil = 0;   /*设整型以0为空 或者以 INT_MAX(65535)*/

typedef struct {
    int level; //结点层
    int order; //本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
}Position;

打印结点的值

Status visit(CElemType c){
    printf("%d ",c);
    return OK;
}

初始化二叉树，初始化也就是将数组中的所有元素置为空

//6.2 构造空二叉树T,因为T是固定数组,不会改变.
Status InitBiTree(SqBiTree T){
    
    for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        //将二叉树初始化值置空
        T[i] = Nil;
    }
    
    return OK;
}

创建一个二叉树

//6.3 按层序次序输入二叉树中的结点值(字符型或整型),构造顺序存储的二叉树T
Status CreateBiTree(SqBiTree T){
    int i = 0;
    
    //printf("按层序输入结点的值(整型),0表示空结点, 输入999结束.结点数<=%d\n",MAX_TREE_SIZE);
    /*
     1      -->1
     2     3   -->2
     4  5  6   7 -->3
     8  9 10       -->4
     
     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nil Nil Nil
     */
    
    while (i < 10) {
        T[i] = i+1;
        printf("%d ",T[i]);
        
        //结点不为空,且无双亲结点
        if (i != 0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil) {
            printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
            exit(ERROR);
        }
        
        i++;
        
    }
    
    //将空赋值给T的后面的结点
    while (i < MAX_TREE_SIZE) {
        T[i] = Nil;
        i++;
    }
    
    return OK;
}

清空二叉树（由于是顺序存储，清空即将数组元素清空）

//如果大家想要2个函数的结果一样,但是目的不同;
//在顺序存储结构中, 两个函数完全一样的结果
#define ClearBiTree InitBiTree

判断二叉树是否为空

/*6.4 判断二叉树是否为空
 初始条件: 二叉树已存在
 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则返回FALSE;
 */
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T){
    //根结点为空,则二叉树为空
    if (T[0] == Nil)
        return TRUE;
    
    return FALSE;
}

7.获取二叉树的深度

/*6.5 获取二叉树的深度
 初始条件: 二叉树已存在
 操作结果: 返回二叉树T深度;
 */
int BiTreeDepth(SqBiTree T){
    
    int j = -1;
    int i;
    
    //找到最后一个结点
    //MAX_TREE_SIZE -> 100 -> 10 目的找到最后一个结点10的位置
    for (i = MAX_TREE_SIZE-1 ; i>=0; i--) {
        if (T[i] != Nil)
            break;
    }
    
    do {
        j++;
    } while ( powl(2, j) <= i); //计算2的次幂
    
    return j;
}

找到某个结点，并返回此结点的值

/*6.6 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置)
 操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
 */
CElemType Value(SqBiTree T,Position e){
    
    /*
     Position.level -> 结点层.表示第几层;
     Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
     */
    
    //pow(2,e.level-1) 找到层序
    printf("%d\n",(int)pow(2,e.level-1));
    
    //e.order
    printf("%d\n",e.order);
    
    //4+2-2;
    return T[(int)pow(2, e.level-1)+e.order-2];
}

9.获取二叉树根节点的值

/*6.7 获取二叉树跟结点的值
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 当T不空,用e返回T的根, 返回OK; 否则返回ERROR
 */
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
    if (BiTreeEmpty(T)) {
        return ERROR;
    }
    
    *e = T[0];
    return OK;
}

给某个节点赋值

/*
 6.8 给处于位置e的结点赋值
 初始条件: 二叉树存在,e是T中某个结点的位置
 操作结果: 给处于位置e的结点赋值Value;
 */
Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){
    
    //找到当前e在数组中的具体位置索引
    int i = (int)powl(2, e.level-1)+e.order -2;
    
    //叶子结点的双亲为空
    if (value != Nil &&  T[(i+1)/2-1] == Nil) {
        return ERROR;
    }
    
    //给双亲赋空值但是有叶子结点
    if (value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil)) {
        return  ERROR;
    }
    
    T[i] = value;
    return OK;
}

获取某个节点的父节点

/*
 6.9 获取e的双亲;
 初始条件: 二叉树存在,e是T中的某一个结点
 操作结果: 若e是T的非根结点, 则返回它的双亲,否则返回"空"
 */
CElemType Parent(SqBiTree T, CElemType e){
    
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    
    for (int i = 1 ; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[(i+1)/2 - 1];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
}

获取某个节点的左孩子和右孩子

/*
 6.10 获取某个结点的左孩子;
 初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
 操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
 */
CElemType LeftChild(SqBiTree T,CElemType e){
    
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[i*2+1];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
}

/*
 6.11 获取某个结点的右孩子;
 初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
 操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
 */
CElemType RightChild(SqBiTree T,CElemType e){
    
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[i*2+2];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
}

获取某个节点的左兄弟节点和获取某个节点的右兄弟节点方法

/*
 6.12 获取结点的左兄弟
 初始条件:  二叉树T存在,e是T中某个结点
 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂
 */
CElemType LeftSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
    /* 空树 */
    if(T[0]==Nil)
        return Nil;
    
    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
    /* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
        if(T[i]==e&&i%2==0)
            return T[i-1];
    
    return Nil; /* 没找到e */
}

/* 6.13 获取结点的右兄弟
 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂
 */
CElemType RightSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
    /* 空树 */
    if(T[0]==Nil)
        return Nil;
    
    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
    /* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
        if(T[i]==e&&i%2==1)
            return T[i+1];
    
    return Nil; /* 没找到e */
}

二叉树的遍历

二叉树的遍历(Traversing binary tree) 是指的从根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中所有结点,使得每个结点被访问一次且仅被访问一次.

二叉树遍历的方法有：

前序遍历

中序遍历

后序遍历

层序遍历

图1-1

前序遍历

规则: 若二叉树为空,则空操作返回; 否则先访问根结点,然后前序遍历左子树,在前序遍历右⼦树

上图中按照前序遍历的结果为：ABDGHCEIF
代码实现：

/*
 6.15 前序遍历二叉树
 */
void PreTraverse(SqBiTree T,int e){
    
    //打印结点数据
    visit(T[e]);
    
    //先序遍历左子树
    if (T[2 * e + 1] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+1);
    }
    //最后先序遍历右子树
    if (T[2 * e + 2] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+2);
    }
}
Status PreOrderTraverse(SqBiTree T){
    
    //树不为空
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        PreTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return  OK;
}

中序遍历

规则: 若二叉树为空,则空操作返回; 否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点), 中序遍历根结点的左子树,然后是访问根结点,最后中序遍历右子树.

按照中序遍历，图1-1的输出结果为: GDHBAEICF
代码实现：

/*
 6.16 中序遍历
 */
void InTraverse(SqBiTree T, int e){
    
    /* 左子树不空 */
    if (T[2*e+1] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+1);
    
    visit(T[e]);
    
    /* 右子树不空 */
    if (T[2*e+2] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+2);
}

Status InOrderTraverse(SqBiTree T){
    
    /* 树不空 */
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        InTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return OK;
}

后续遍历

规则: 若二叉树为空,则空操作返回; 否则从左到右先叶子后结点的方式遍历左右⼦树,最后访问根结点

按照后序遍历，图1-1的输出结果为: GHDBIEFCA
代码实现：

/*
 6.17 后序遍历
 */
void PostTraverse(SqBiTree T,int e)
{   /* 左子树不空 */
    if(T[2*e+1]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+1);
    /* 右子树不空 */
    if(T[2*e+2]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+2);
    
    visit(T[e]);
}
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{
    if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */
        PostTraverse(T,0);
    printf("\n");
    return OK;
}

层序遍历

规则: 若二叉树为空,则空操作返回; 否则从树的第一层,也是就是根结点开始访问,从上而下逐层遍历,在同一层中, 按从左到右的顺序对结点逐个访问.

按照层序遍历，图1-1的输出结果为: ABCDEFGHI
代码实现：

/*
 6.14 层序遍历二叉树
 */
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T){
    
    int i = MAX_TREE_SIZE-1;
    
    //找到最后一个非空结点的序号
    while (T[i] == Nil) i--;
    
    //从根结点起,按层序遍历二叉树
    for (int j = 0; j <= i; j++)
        //只遍历非空结点
        if (T[j] != Nil)
            visit(T[j]);
    
    printf("\n");
}

009-数据结构与算法-树和二叉树

什么是树形结构？

二叉树

二叉树的特性

完全二叉树特性

二叉树的遍历

前序遍历

中序遍历

后续遍历

层序遍历

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