9，10凸函数的定义和拓展

9，10凸函数的定义和拓展

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-06-24 16:07 被阅读0次

定义一：
$f:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R}$ 为凸 $\Leftarrow\Rightarrow$ $dom f$ 为凸
且 $\forall x,y\in dom f,0\leq\theta\leq 1$ 有 $f(\theta x+(1-\theta)y)\leq \theta f(x)+(1-\theta )f(y)$
定义二：
$\forall x\in dom f,\forall V$
$g(t)=f(x+tv)$ 为凸， $dom g=\{t|x+tv\in dom f \}$
定义三：
若 $f$ 可微，即梯度 $\nabla f$ 在 $dom f$ 上均存在，则 $f$ 为凸等价于 $dom f$ 为凸且 $\forall x,y\in dom f,f(y)\geq f(x)+\nabla f^T(x)(y-x)$

拓展：
$I_c(x)=\left\{\begin{array}{c} \infty,c\notin C\\ 0,x\in C\\ \end{array} \right.$ 凸
$J_c(x)=\left\{\begin{array}{c} 1,c\notin C\\ 0,x\in C\\ \end{array} \right.$ 非凸非凹

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