【解柱面、锥面、旋转曲面的方程】

曲面可以由一条曲线按照某种规律运动所生成的。在生活中，这样的曲面是多样化的，需要我们从数学的层面去深层次的了解和分析，在不同的学习中，我们对不同的曲面的了解程度不同。就像解析几何的柱面，锥面和旋转曲面都是由一条曲线按照某种规律运动所产生的。

柱面是由平行于定方向且沿着准线运动的直线所产生的，它是空间里的一族平行直线所生成的曲面，而我们在学习中，我们要通过对它的定义和图形来求柱面方程。在求柱面方程的时候，需要知道准线的方程和母线的标准方程。例如柱面的准线方程为F₁(x, y, z)=0,  F ₂ (x, y, z)=0,母线的方向数是X, Y, Z,如果M ₁(x ₁, y ₁, z ₁)为准线上的一点，那么过母线的标准方程为 = =，因为M₁点在准线上，则有F₁(x₁, y₁, z₁)=0,  F ₂ (x₁, y₁, z₁)=0，用母线的标准方程和准线的方程消去参数x ₁, y ₁, z ₁，得到的方程就是柱面方程。我们学会求柱面方程的同时，也要了解柱面方程变成图形的过程。

锥面是在空间里，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生，这是空间一族共点直线所产生的曲面。显然，锥面被它的准线及顶点完全确定，但反过来，对于一个锥面，它的准线并不是唯一的，与柱面的情形一样，锥面上与其每一条母线都相交的曲线都可以作为它的准线。在根据准线的方程来求锥面的方程时，和求柱面方程的过程是一样的。只是在求锥面的方程过程中母线的方程是两点式方程，柱面是标准方程。例如:设锥面的准线为F₁(x, y, z)=0,  F ₂ (x, y, z)=0，顶点为A()，如果M₁(x₁, y₁, z₁)为准线上的一点，那么过母线的方程为 = =  ，且有F₁(x₁, y₁, z₁)=0, F ₂ (x₁, y₁, z₁)=0 ，在根据母线方程（两点式方程）与准线方程消去参数 x₁, y₁, z₁ 得到的方程为锥面方程。

    旋转曲面是由一曲线绕其轴旋转一周而生成的，它又可以看成是一族纬圆所生成的曲面，它是由旋转轴，经线和纬线组成，在求旋转曲面时，我们要知道设旋转曲面的母线为F₁(x, y, z)=0,  F ₂ (x, y, z)=0 ，旋转轴的直线为  = =  ，再设 M₁(x₁, y₁, z₁) 是母线上的任意一点，那么过M ₁ 的纬圆垂直于旋转轴的平面与 ()为球心，在求球面的交线，得到了纬圆的方程，又由于M₁(x₁, y₁, z₁) 在母线上，所以又有 F₁(x₁, y₁, z₁)=0,  F ₂ (x₁, y₁, z₁)=0 ，根据纬圆方程和母线的方程，消去参数 x₁, y₁, z₁ 得到的方程为旋转曲面的方程。

柱面，锥面，旋转曲面，它们方程的解法都是相同的，它们都是由曲线按照某种规律运动所产生的，他们的方法是统一的。所以在解柱面，锥面，旋转曲面的方程时，只要把它们的定义、准线方程、母线方程清楚地写出来，大多数情形之下，它们的方程就能求出来。然而，柱面，锥面，旋转曲面的方程并不像我们想象的那么困难，只要我们去深刻地了解和分析它们的过程，那么柱面、锥面、旋转曲面方程就显而易见。

                            班级:17数本（3）班

                            姓名:谢月银

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