参考资料：
1. 动态规划之背包问题系列
背包问题的定义参见参考资料1
跟背包问题不同的是，目标是换的零钱的个数最少。
零钱个数不限，所以是完全背包问题。
因为一开始没有答案，所以初始化为INVALID，背包问题一开始初始化为0，因为背包什么都不装，0也算背包的收益。
- 分析一迭代求法
private int INVALID = Integer.MAX_VALUE;
// 分析一 迭代求法
public int coinChange(int[] coins, int amount){
int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1];
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
Arrays.fill(dp[i], INVALID);
}
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i][0] = 0;
}
for (int i = 1; i <= coins.length; i++) {
for (int j = 1; j <= amount; j++) {
int use;
if(j >= coins[i-1]){
use = dp[i][j - coins[i-1]];
if(use != INVALID){
use += 1;
}
}else{
use = INVALID;
}
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], use);
}
}
return dp[coins.length][amount] == INVALID ? -1:dp[coins.length][amount];
}
- 分析一节省空间解法
private int INVALID = Integer.MAX_VALUE;
// 分析一 节省空间
public int coinChange(int[] coins, int amount){
int[] dp = new int[amount+1];
Arrays.fill(dp, INVALID);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= coins.length; i++) {
for (int j = 1; j <= amount; j++) {
int use;
if(j >= coins[i-1]){
use = dp[j - coins[i-1]];
if(use != INVALID){
use += 1;
}
}else{
use = INVALID;
}
dp[j] = Math.min(dp[j], use);
}
}
return dp[amount] == INVALID ? -1:dp[amount];
}
- 分析一递归解法
private int INVALID = Integer.MAX_VALUE;
public int coinChange(int[] coins, int amount){
if(amount==0)
return 0;
if(coins.length==0)
return -1;
int[][] dp = new int[coins.length][amount+1];
int result = coinChange(coins, amount, dp, coins.length-1);
return result == INVALID ? -1:result;
}
private int coinChange(int[] coins, int amount, int[][] dp, int indexOfLastCoin) {
if(dp[indexOfLastCoin][amount] != 0)
return dp[indexOfLastCoin][amount];
int use = INVALID;
int leftAmount = amount - coins[indexOfLastCoin];
if(leftAmount > 0){
use = coinChange(coins, leftAmount, dp, indexOfLastCoin);
if(use!=INVALID){
use += 1;
}
} else if(leftAmount == 0){
use = 1;
}
int notUsed = INVALID;
int indexOfLeftCoin = indexOfLastCoin - 1;
if(indexOfLeftCoin >= 0){
notUsed = coinChange(coins, amount, dp, indexOfLeftCoin);
}
dp[indexOfLastCoin][amount] = Math.min(use, notUsed);
// System.out.println("dp[" + indexOfLastCoin + "][" + amount + "]:"+dp[indexOfLastCoin][amount]);
return dp[indexOfLastCoin][amount];
}
- 分析二迭代求法
private int INVALID = Integer.MAX_VALUE;
// 分析二 根据amount限制对应的硬币个数，在01背包里面加上一层循环
public int coinChange(int[] coins, int amount){
int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1];
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
Arrays.fill(dp[i], INVALID);
}
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
dp[i][0] = 0;
}
for (int i = 1; i <= coins.length; i++) {
for (int j = 1; j <= amount; j++) {
int min = INVALID;
// 这里k必须从0开始，不一定要用到conis[i-1]，可以不用；
for (int k = 0; k <= j/coins[i-1]; k++) {
int leftAmount = j-coins[i-1]*k;
if(leftAmount < 0 || dp[i-1][leftAmount]==INVALID)
continue;
min = Math.min(min, dp[i-1][leftAmount] + k);
}
dp[i][j] = min;
}
}
return dp[coins.length][amount] == INVALID ? -1:dp[coins.length][amount];
}
- 分析二节省空间版本
private int INVALID = Integer.MAX_VALUE;
// 分析二节省空间版本 根据amount限制对应的硬币个数，在01背包里面加上一层循环
public int coinChange(int[] coins, int amount){
int[] dp = new int[amount+1];
Arrays.fill(dp, INVALID);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= coins.length; i++) {
for (int j = amount; j >= 1; j--) {
int min = INVALID;
// 这里k必须从0开始，不一定要用到conis[i-1]，可以不用；
for (int k = 0; k <= j/coins[i-1]; k++) {
int leftAmount = j-coins[i-1]*k;
if(leftAmount < 0 || dp[leftAmount]==INVALID)
continue;
min = Math.min(min, dp[leftAmount] + k);
}
dp[j] = min;
}
}
return dp[amount] == INVALID ? -1:dp[amount];
}
- 分析二递归求法（DFS剪枝版本，每个硬币使用的次数是有上限的，超时！！）
private int INVALID = Integer.MAX_VALUE;
// 分析二递归版本 根据amount限制对应的硬币个数，在01背包里面加上一层循环
public int coinChange(int[] coins, int amount){
int result = coinChange(coins, amount, 0, 0);
return result == INVALID?-1:result;
}
private int coinChange(int[] coins, int amount, int coinIndex, int coinUsed) {
if(amount==0)
return coinUsed;
if(coinIndex==coins.length)
return INVALID;
int min = INVALID;
for (int i = 0; i <= amount / coins[coinIndex]; i++) {
min = Math.min(min, coinChange(coins, amount - coins[coinIndex] * i, coinIndex + 1, coinUsed+i));
}
return min;
}
- 其他DFS剪枝版本
// DFS 剪枝
private int min = Integer.MAX_VALUE;
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
if(amount==0)
return 0;
int[] sortedCoins = Arrays.stream(coins).boxed().sorted(Comparator.reverseOrder()).mapToInt(Integer::intValue).toArray();
coinChange(sortedCoins, 0, amount, 0);
return min==Integer.MAX_VALUE?-1:min;
}
private void coinChange(int[] coins, int start, int amount, int usedCoins) {
if(amount<0) {
return ;
}
if(amount==0) {
min = Math.min(usedCoins, min);
}
for (int i = start; i < coins.length; i++) {
// min 代表题目给的amount目前找到的最小的硬币的个数
// min - usedCoins 代表还可以使用最多的个数
// coins[i]是最大的，所以coins[i]*(min - usedCoins)都凑不够，不用试了。
if(min!= Integer.MAX_VALUE && (coins[i]*(min - usedCoins))<amount)
return ;
coinChange(coins, i, amount-coins[i], usedCoins + 1);
}
}
- BFS
// BFS 从某个点是amount开始，coin是边
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
if (amount == 0)
return 0;
Deque<Integer> queue = new LinkedList<>();
Set<Integer> set = new HashSet<>();
queue.add(0);
set.add(0);
int numCoins = 0;
while(queue.size()!=0){
int size = queue.size();
numCoins += 1;
for (int i = 0; i < size; i++) {
int element = queue.removeFirst();
set.remove(element);
for (int coin : coins) {
int newElement = element + coin;
if(newElement==amount) {
return numCoins;
}else if(newElement < amount) {
if(!set.contains(newElement)) {
queue.addLast(newElement);
set.add(newElement);
}
}
}
}
}
return -1;
}
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