题目

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

解题思路

题目让我们实现 sqrt 函数，具体实现有以下两种方法：

1. 二分查找
第一个方法是二分查找，范围为 [1, Integer.MAX_VALUE]，看哪个数的平方会等于 x，这里需要注意的是 不能直接判断 midmid == x，因为 midmid 数值可能很大，从而导致溢出。可以转化为判断 mid == x/mid。该算法的时间复杂度为 O(log(Integer.MAX_VALUE))。

2. Newton's method
牛顿大法好，没想到求一个数的平方根也可以用到牛顿方法。下面是我在网上找到的有关 Newton's method 的介绍：

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。

过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

根据牛顿迭代的原理，将 f(x) = x^2 代进去即可得到以下的迭代公式：X(n+1)=[X(n)+p/X(n)]/2，具体代码见参考代码。

参考代码

1. 二分查找

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x == 0)
        return 0;
        int left = 1, right = INT_MAX;
        while (true) {
            int mid = left + (right - left)/2;
            if (mid > x/mid) {
                right = mid - 1;
            } 
            else {
            if (mid + 1 > x/(mid + 1))
                return mid;
            left = mid + 1;
            }
        }
    }
};

2. Newton's method

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        long r = x;
        while (r*r > x)
            r = (r + x/r) / 2;
        return r;
    }
};