O 为直线 MN 上一点,将等腰直角三角形 AOB 置于 MN 上方,∠A = 90 且将其一锐角顶点与 O 重合,射线 OP 平分 ∠AON,设∠AOM = a.
若 0 < a < 180, 在射线 OB,OP 和 ON 中,当其中一条是另外两条射线所成夹角的平分线时,求 a 的值。
解:OB,OP 和 ON 的相对位置,分三种情况讨论。
(1) 当 OB 平分 ∠PON 时
因为 ∠AOM = a, 所以 ∠AON = 180 - a
因为 OP 平分 ∠AON,所以 ∠PON = 1/2 * ∠AON = 90 - 1/2* a
![](https://img.haomeiwen.com/i2085791/ae24b1929e4c09e4.png)
因为 ∠AOB = 45,所以 ∠BON = 180 - ∠AOM - 45 = 180 - a - 45 = 135 - a
因为 OB 平分 ∠PON,所以 ∠PON = 2 ∠BON = 270 - 2a
所以 270 - 2a = 90 - 1/2 * a
解出 a = 120
(2) 当 ON 平分 ∠POB 时,因为 OP 平分∠AON,所以 ∠AOP = ∠PON
因为 ON 平分 ∠POB,所以 ∠PON = ∠NOB
所以 ∠AOP = ∠PON = ∠NOB = 45/3 = 15
所以 a = 180 - ∠ AON = 180 - 15 * 2 = 150
![](https://img.haomeiwen.com/i2085791/764355b39241dfe8.png)
(3) 当 OP 平分∠BON 时,OP 不可能再平分 ∠AON,舍去。
答:a 为 120 或者 150.
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