1.2梯度下降算法

作者: Yuanshuo | 来源:发表于2019-08-05 10:08 被阅读0次

The core values of Chinese socialism

梯度下降算法

梯度下降算法可将代价函数 $J$ 最小化。

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思路构想

在梯度下降算法在不停地一点点改变 $θ_{0}$ 和 $θ_{1}$ ，试图通过这种改变使得 $J(θ_{0}, θ_{1})$ 变小，直到找到 $J$ 的最小值，或局部最小值。

原理

局部最优解

定义

同步反复迭代直到收敛。 $α$ 是一个数字，被称为学习速率控制以多大的幅度更新 $θ_{j}$ 。

同步更新

深入研究梯度下降算法

探究导数的意义。控制斜率。

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单 $θ_{1}$ 变量的 $J(θ_{1})$ 图像。

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$θ_{1} := θ_{1} - α(positive num)$ ， $θ_{1}$ 减去一个正数，相当于使 $θ_{1}$ 变小， $θ_{1}$ 向左移。

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$θ_{1} := θ_{1} - α(negative num)$ ， $θ_{1}$ 减去一个负数，相当于使 $θ_{1}$ 变大， $θ_{1}$ 向右移。

线性回归中的梯度下降

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为了达到梯度下降，需要的关键是这个微分项：

$\frac{∂}{∂θ_{j}}J(θ_{0},θ_{1})$

带入公式可以得出：

$\begin{align*} \frac{∂}{∂θ_{j}}J(θ_{0},θ_{1}) &= \frac{∂}{∂θ_{j}} \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h_{θ}(x^{(i)}) - y^{(i)})^{2}\\ &= \frac{∂}{∂θ_{j}} \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (θ_{0} + θ_{1}(x^{(i)}) - y^{(i)})^{2}\\ \end{align*}$

需要弄清两个偏导数项是什么：

$j = 0 时: \frac{∂}{∂θ_{0}}J(θ_{0},θ_{1}) = ? \\ j = 1 时: \frac{∂}{∂θ_{1}}J(θ_{0},θ_{1}) = ?$

得到：

$\begin{align*} j = 0 时: \frac{∂}{∂θ_{0}}J(θ_{0},θ_{1}) &= \frac{∂}{∂θ_{0}} \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h_{θ}(x^{(i)}) - y^{(i)})^{2}\\ &= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (h_{θ}(x^{(i)}) - y^{(i)})\end{align*}$

$\begin{align*}j = 1 时: \frac{∂}{∂θ_{1}}J(θ_{0},θ_{1}) &= \frac{∂}{∂θ_{1}} \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (h_{θ}(x^{(i)}) - y^{(i)})^{2}\\ &= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (h_{θ}(x^{(i)}) - y^{(i)})·x^{i} \end{align*}$

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这就是用于线性回归的梯度下降，反复迭代直到收敛。

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1.2梯度下降算法

梯度下降算法

深入研究梯度下降算法

线性回归中的梯度下降

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