摘要： 如果你还是一个高等数学的初学者，相信极限一词你一定不会陌生。但是无序的题海、善变的思路、乏味的定义却使她成为了学生熟悉的陌生人，方法都略知一二，思路却无从寻觅。是的，为了追求细节的完整有些书本不得不抛弃一些逻辑性，因此极限解题思路无法在学生脑海中形成一个整体的印象。因此，我在此用思维导图的形式来剖析一下这类问题。为了保持思路的连贯性，我无法对高数第一章的内容全部概述，我只能尽力保持知识体系的完整性，追求完美的同学可以在我的论文的基础上进一步细致。同时，我也可以删去了求极限和证明极限的关联方法，如夹逼定理，为了让同学们模块化学习。下面，就跟随我一起挑战“极限”吧！

关键字: 极限求解 高等数学

1 证明极限

1.1用连续性证明极限

1.1.1 连续性的定义

证明极限最简单的方法大概就是利用初等函数的连续性了，这也是我搁置其他方法，甚至连定义法都放到后面的原因。

接下来，我们研究一下函数的连续性，然后把它应用到求极限上。

连续的定义

基本初等函数是指以下六类函数：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函数称为初等函数。

值得注意的是，初等函数和基本初等函数都是连续的。

函数在 x = x0 处连续的等价定义是

等价定义

同时连续函数进行四则运算之后的新函数也是连续的。

1.1.2 复合函数的连续性

借用连续性的等价定义结论，我们就可以得出复合函数的连续性结论。

复合函数的连续性

可以用几何形式来帮助理解。

复合函数连续性的几何体现

其实，对于外层函数，保证它的连续性甚至都不需要有定义。因此我们可以简化写成这个式子：

lim(x→ a) g(f(x)) = g ( lim(x→a) f(x) )

1.1.3 反函数的连续性

若函数f(x)的定义域和值域是一 一满射，而且是严格单调的，则f是定义域上的连续函数，且其反函数也是连续函数。

反函数的连续性

1.1.4 连续函数性质

性质：闭区间上的连续