简介

二阶贝塞尔曲线，可以通过三个点，来确定一条平滑的曲线。在计算机图形学应该有讲。是图形开发中的重要工具。多阶不做介绍是因为当你会用二阶的话，多阶就是一个多次迭代的过程

二阶Bézier

五阶Bézier

简单实现

原理
三线取等比部分

设p0到p1上的点为p<p0-p1>
设p0到p1上的点为p<p1-p2>
设p<p0-p1>到p<p1-p2>上的点为p
设rate() = 线长2/线长1
rate(p0-p1，p0-p<p0-p1>) = rate(p1-p2，p0-p<p1-p2>) = rate(p<p0-p1>-p<p1-p2>,p<p0-p1>-p)这里的点p的轨迹就是我们的光滑曲线

定比等分

再来讲一下如何取一条线的等比点吧
>这里要引入一个定比等分公式，计算方法如下，公式一个拉姆达(λ)只能计算两个等分点，拉姆达(λ)需要不断自身-2直到小于等于0来求得所有的等分点

定比等分公式

c++代码

  bool cmpUx(Point2f &p1,Point2f &p2) {return p1.x>p2.x;}
  bool cmpDx(Point2f &p1,Point2f &p2) {return p1.x<p2.x;}
  bool cmpUy(Point2f &p1,Point2f &p2) {return p1.y>p2.y;}
  bool cmpDy(Point2f &p1,Point2f &p2) {return p1.y<p2.y;}

  void discrete4smooth(Point p1,Point p2,vector<Point2f> &discrete_pt,int discrete){
      bool isX = (p1.x-p2.x != 0);
      bool isUp = (isX?p1.x>p2.x:p1.y>p2.y);
      cout << isUp << endl;
      if(discrete<1) return;
      Point2f pt1 = p1;
      Point2f pt2 = p2;
      Point2f pt1_next,pt2_next;
      vector<Point2f> tmp;
      tmp.push_back(pt1);
      tmp.push_back(pt2);
      for(int i=discrete;i>=1&&i!=-1;i-=2) {
          pt1_next.x = (pt2.x+i*pt1.x)/(1+i);
          pt1_next.y = (pt2.y+i*pt1.y)/(1+i);
          pt2_next.x = (pt1.x+i*pt2.x)/(1+i);
          pt2_next.y = (pt1.y+i*pt2.y)/(1+i);
          tmp.push_back(pt1_next);
          tmp.push_back(pt2_next);
          pt2 = pt1_next;
          pt1 = pt2_next;
      }
      if(isX) {
          if(isUp) sort(tmp.begin(),tmp.end(),cmpUx);
          else sort(tmp.begin(),tmp.end(),cmpDx);
      }
      else {
          if(isUp) sort(tmp.begin(),tmp.end(),cmpUy);
          else sort(tmp.begin(),tmp.end(),cmpDy);
      }
      for(int i=0;i<tmp.size();i++) discrete_pt.push_back(tmp[i]);
      cout << discrete_pt << endl;
  }

  void bezier(vector<Point> path,vector<Point2f> &path_smooth,int discrete) {
      Mat recover = smooth_img.clone();
      for(int i=0;i<path.size()-3;i++) {
          vector<Point2f> p_list1,p_list2;
          Point p1 = path[i];
          Point p2 = path[i+1];
          Point p3 = path[i+2];
          discrete4smooth(p1,p2,p_list1,discrete);
          discrete4smooth(p3,p2,p_list2,discrete);
          for(int j=1;j<p_list1.size()-1;j++) {
              vector<Point2f> res_list;
              discrete4smooth(p_list1[j],p_list2[p_list1.size()-j],res_list,discrete);
              path_smooth.push_back(res_list[j]);
          }
      }
  }