五大经典算法之回溯法

一、基本概念

  回溯法，又称为试探法，按选优条件向前不断搜索，以达到目标。但是当探索到某一步时，如果发现原先选择并不优或达不到目标，就会退回一步重新选择，这种达不到目的就退回再走的算法称为回溯法。

与穷举法的区别和联系：
相同点：它们都是基于试探的。
区别：穷举法要将一个解的各个部分全部生成后，才检查是否满足条件，若不满足，则直接放弃该完整解，然后再尝试另一个可能的完整解，它并没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。而对于回溯法，一个解的各个部分是逐步生成的，当发现当前生成的某部分不满足约束条件时，就放弃该步所做的工作，退到上一步进行新的尝试，而不是放弃整个解重来。

二、基本思想

  对于可以使用回溯法来解决的问题，首先可以将其解空间可以看成一棵解空间树。在回溯法中，每次扩大当前部分解时，都面临一个可选的状态集合（所有的子树），每个树结点代表一个可能的部分解。
  回溯法对任一解的生成，一般都采用逐步扩大解的方式。每前进一步，都试图在当前部分解的基础上扩大该部分解。它在问题的状态空间树中，从开始结点（根结点）出发，以深度优先搜索整个状态空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的活结点处，并使这个活结点成为当前扩展结点。回溯法以这种工作方式递归地在状态空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

三、解题步骤(思路)

1. 针对给定的问题，定义问题的解空间；
2. 确定易于搜索的解空间结构；
3. 以深度优先方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。（这里的剪枝函数就是判断该结点是否满足问题题设，如果满足则向下搜索，不满足则在此剪枝）

四、算法框架

1. 递归实现：
 变量解释：
  x：存储试探解的数组
  n：解空间树的层数
  i：搜索目前所达到的层数
  start：子节点解空间的最小值
  end：子节点解空间的最大值

int x[n];
void backtrack (int i) {
    if (i > n) {
       回溯结束； 
    } else {
        // 这里回溯子节点的解空间为start~end
       for (j = start; j <= end; j++) {
            // 满足条件，向下搜索
            if (j满足题设条件) {
                x[i] = j;
                backtrack(i+1);
            // 不满足条件，在此剪枝（即回溯）
            } else {
            }
       }
   }
}   

 2. 非递归实现：
 变量解释：
  x：存储试探解的数组
  n：解空间树的层数
  i：搜索目前所达到的层数
  start：子节点解空间的最小值
  end：子节点解空间的最大值

void f_backtrack(int i) {
  //初始化解向量
  for (int j = 0; j < n; j++) {
    x[j] = 1;
  }
  while (i >= 1) {
    while (x[i] <= n) {
      if (place(i)) {
        if (i == n) {
          回溯结束；
          break;
        // 满足条件，向下搜索
        } else {
          i++;
          x[i] = 1;
        }
      // 不满足条件，在此剪枝（即回溯）
      } else {
        x[i]++;
      }
    }
    //遍历完子节点解空间后，向上剪枝（即回溯）
    x[i] = 1;
    i--;
    x[i]++;
  }
}  

相比之下，递归设计方法比较简单，而非递归方法，也就是循环方法设计细节比较多，但如果掌握了其特点，对不同问题的适用性很强（即代码只需要很少的修改就可以应用到不同问题），加之其最大的优势：效率更高（因为递归的实现是通过调用函数本身，函数调用的时候，每次调用时要做地址保存，参数传递等，这是通过一个递归工作栈实现的。具体是每次调用函数本身要保存的内容包括：局部变量、形参、调用函数地址、返回值。那么，如果递归调用N次，就要分配N局部变量、N形参、N调用函数地址、N返回值。这势必是影响效率的。）

五、经典实现

经典问题：八皇后问题
  八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：
  在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上（斜率为1），问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。

递归实现为以下代码中backtrack方法
非递归实现为以下代码中f_backtrack方法：

#include <iostream>
using namespace std;
int n;
int *x;
int sum;
bool place(int k)
{
  for (int j = 1; j < k; j++)
    if (abs(x[k] - x[j]) == abs(k - j) || x[j] == x[k])
      return false;
  return true;
}

void output()
{
  sum++; //sum为所有的可行的解
  for (int m = 1; m <= n; m++)
  {
    cout << "<" << m << "," << x[m] << ">"; //这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解
  }
  cout << endl;
}

void f_backtrack(int i)
{
  for (int j = 0; j < n; j++)
  { //初始化解向量
    x[j] = 1;
  }
  while (i >= 1)
  {
    while (x[i] <= n)
    {
      if (place(i))
      { //得到可行解
        if (i == n)
        {
          output();
          break;
        } //得到最终可行解，退出
        else
        { //得到部分可行解，搜索下一行
          i++;
          x[i] = 1;
        }
      }
      else
      { //当前解不可行
        x[i]++;
      }
    }
    x[i] = 1;
    i--;
    x[i]++; //回溯
  }
}

void backtrack(int i)
{
  if (i > n)
  {
    output();
  }
  else
  {
    for (int j = 1; j <= n; j++)
    {
      x[i] = j;
      if (place(i))
      {
        backtrack(i + 1);
      }
      else
      {
      }
    }
  }
}

int main()
{
  n = 8;
  sum = 0;
  x = new int[n + 1];
  for (int i = 0; i <= n; i++)
    x[i] = 0;
  backtrack(1);
  cout << "方案共有" << sum << endl;
}