Bloom Filter 概念和原理

焦萌 2007年1月27日

Bloom Filter 是一种空间效率很高的随机数据结构, 它利用位数组很简洁地表示一个集合, 并能判断一个元素是否属于这个集合. Bloom Filter 的这种高效是有一定代价的: 在判断一个元素是否属于某个集合时, 有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(False Positive). 因此, Bloom Filter 不适合那些“零错误”的应用场合. 而在能容忍低错误率的应用场合下, Bloom Filter 通过极少的错误换取了存储空间的极大节省.

1. 集合表示和元素查询

下面我们具体来看 Bloom Filter 是如何用位数组表示集合的. 初始状态时, Bloom Filter 是一个包含 m 位的位数组, 每一位都置为 0.

Bloom Filter Initialization

为了表达 S={x₁, x₂,…,x_n} 这样一个 n 个元素的集合, Bloom Filter 使用 k 个相互独立的哈希函数(Hash Function), 它们分别将集合中的每个元素映射到 {1,…,m} 的范围中. 对任意一个元素 x, 第 i 个哈希函数映射的位置 h_i(x) 就会被置为 1(1≤i≤k). 注意, 如果一个位置多次被置为 1, 那么只有第一次会起作用, 后面几次将没有任何效果. 在下图中, k=3, 且有两个哈希函数选中同一个位置(从左边数第五位).

Bloom Filter Set

在判断 y 是否属于这个集合时, 我们对 y 应用 k 次哈希函数, 如果所有 h_i(y) 的位置都是 1(1≤i≤k), 那么我们就认为 y 是集合中的元素, 否则就认为 y 不是集合中的元素. 下图中 y₁ 就不是集合中的元素. y₂ 或者属于这个集合, 或者刚好是一个 False Positive.

Bloom Filter Judge

错误率估计

前面我们已经提到了, Bloom Filter 在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率(False Positive Rate), 下面我们就来估计错误率的大小. 在估计之前为了简化模型, 我们假设 kn<m 且各个哈希函数是完全随机的. 当集合 S={x₁, x₂,…,x_n} 的所有元素都被 k 个哈希函数映射到 m 位的位数组中时, 这个位数组中某一位还是 0 的概率是:

其中 1/m 表示任意一个哈希函数选中这一位的概率(前提是哈希函数是完全随机的), (1-1/m) 表示哈希一次没有选中这一位的概率. 要把 S 完全映射到位数组中, 需要做 kn 次哈希. 某一位还是 0 意味着 kn 次哈希都没有选中它, 因此这个概率就是 (1-1/m) 的 kn 次方. 令 p=e^-kn/m 是为了简化运算, 这里用到了计算 e 时常用的近似:

令 ρ 为位数组中 0 的比例, 则 ρ 的数学期望 E(ρ)=p’. 在 ρ 已知的情况下, 要求的错误率(False Positive Rate)为:

(1-ρ) 为位数组中 1 的比例, (1-ρ)^k 就表示 k 次哈希都刚好选中 1 的区域, 即 False Positive Rate. 上式中第二步近似在前面已经提到了, 现在来看第一步近似. p’ 只是 ρ 的数学期望, 在实际中 ρ 的值有可能偏离它的数学期望值. M. Mitzenmacher已经证明^[2], 位数组中 0 的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近. 因此, 第一步的近似得以成立. 分别将 p 和 p’ 代入上式中, 得:

相比 p’ 和 f’, 使用 p 和 f 通常在分析中更为方便.

最优的哈希函数个数

既然 Bloom Filter 要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中, 那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢? 这里有两个互斥的理由: 如果哈希函数的个数多, 那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到 0 的概率就大; 但另一方面, 如果哈希函数的个数少, 那么位数组中的 0 就多. 为了得到最优的哈希函数个数, 我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算.

先用 p 和 f 进行计算. 注意到 f = exp(k ln(1 − e^−kn/m)), 我们令 g = k ln(1 − e^−kn/m), 只要让 g 取到最小, f 自然也取到最小. 由于 p = e^-kn/m, 我们可以将 g 写成:

根据对称性法则可以很容易看出当 p = 1/2, 也就是 k = ln2·(m/n)时, g 取得最小值. 在这种情况下, 最小错误率 f 等于 (1/2)^k ≈ (0.6185)^m/n. 另外, 注意到 p 是位数组中某一位仍是 0 的概率, 所以 p = 1/2 对应着位数组中 0 和 1 各一半. 换句话说, 要想保持错误率低, 最好让位数组有一半还空着.

需要强调的一点是, p = 1/2 时错误率最小这个结果并不依赖于近似值 p 和 f. 同样对于 f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)^kn)), g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)^kn), p’ = (1 − 1/m)^kn, 我们可以将 g’ 写成:

同样根据对称性法则可以得到当 p’ = 1/2 时, g’ 取得最小值.

位数组的大小

下面我们来看看, 在不超过一定错误率的情况下, Bloom Filter 至少需要多少位才能表示全集中任意 n 个元素的集合. 假设全集中共有 u 个元素, 允许的最大错误率为 є, 下面我们来求位数组的位数 m.

假设 X 为全集中任取 n 个元素的集合, F(X) 是表示 X 的位数组. 那么对于集合 X 中任意一个元素 x, 在 s = F(X) 中查询 x 都能得到肯定的结果, 即 s 能够接受 x. 显然, 由于 Bloom Filter 引入了错误, s 能够接受的不仅仅是 X 中的元素, 它还能够 є (u - n) 个 False Positive. 因此, 对于一个确定的位数组来说, 它能够接受总共 n + є (u - n) 个元素. 在 n + є (u - n) 个元素中, s 真正表示的只有其中 n 个, 所以一个确定的位数组可以表示

个集合. m 位的位数组共有 2^m 个不同的组合, 进而可以推出, m 位的位数组可以表示

个集合. 全集中 n 个元素的集合总共有

个, 因此要让 m 位的位数组能够表示所有 n 个元素的集合, 必须有

即:

上式中的近似前提是 n 和 єu 相比很小, 这也是实际情况中常常发生的. 根据上式, 我们得出结论: 在错误率不大于 є 的情况下, m 至少要等于 n log₂(1/є) 才能表示任意 n 个元素的集合.

上一小节中我们曾算出当 k = ln2·(m/n) 时错误率 f 最小, 这时 f = (1/2)^k = (1/2)^{mln2 / n}. 现在令 f≤є, 可以推出

这个结果比前面我们算得的下界 n log₂(1/є) 大了 log₂ e ≈ 1.44 倍. 这说明在哈希函数的个数取到最优时, 要让错误率不超过 є, m 至少需要取到最小值的 1.44 倍.

总结

在计算机科学中, 我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况, 即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面. Bloom Filter 在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素: 错误率. 在使用 Bloom Filter 判断一个元素是否属于某个集合时, 会有一定的错误率. 也就是说, 有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合(False Positive), 但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合(False Negative). 在增加了错误率这个因素之后, Bloom Filter 通过允许少量的错误来节省大量的存储空间.

自从 Burton Bloom 在 70 年代提出 Bloom Filter 之后, Bloom Filter 就被广泛用于拼写检查和数据库系统中. 近一二十年, 伴随着网络的普及和发展, Bloom Filter 在网络领域获得了新生, 各种 Bloom Filter 变种和新的应用不断出现. 可以预见, 随着网络应用的不断深入, 新的变种和应用将会继续出现, Bloom Filter 必将获得更大的发展.

参考资料

[1] A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485–509, 2005.
[2] M. Mitzenmacher. Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604—612.
[3] www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf
[4] http://166.111.248.20/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt

原文链接：http://blog.csdn.net/jiaomeng/article/details/1495500