2.12 降维的必要性及目的

降维的必要性：

• 多重共线性和预测变量之间相互关联。
  多重共线性会导致解空间的不稳定，从而可能导致结果的不连贯。
• 高维空间本身具有稀疏性。
  一维正态分布有68%的值落于正负标准差之间，而在十维空间上只有2%。
• 过多的变量，对查找规律造成冗余麻烦。
• 仅在变量层面上分析可能会忽略变量之间的潜在联系。
  例如几个预测变量可能落入仅反映数据某一方面特征的一个组内。

降维的目的：

• 减少预测变量的个数。
• 确保这些变量是相互独立的。
• 提供一个框架来解释结果。
  相关特征，特别是重要特征更能在数据中明确的显示出来；如果只有两维或者三维的话，更便于可视化展示。
• 数据在低维下更容易处理、更容易使用。
• 去除数据噪声。
• 降低算法运算开销。

KPCA与PCA

KPCA用到了核函数思想，使用了核函数的主成分分析一般称为核主成分分析(Kernelized PCA, 简称KPCA）。

思想：应用PCA算法前提是假设存在一个线性超平面，可以实现投影。
如果数据不是线性的话，就需要使用KPCA，

• 首先数据集从 维映射到线性可分的高维 ，
• 然后再从 维降维到一个低维度 。

假设高维空间数据由 维空间的数据通过映射 产生。

维空间的特征分解为：

​其映射为

​通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。