逻辑回归

作者: 原上的小木屋 | 来源:发表于2020-09-19 12:47 被阅读0次

广义线性回归

$y=g^{-1}(wx+b)$ ， $g(\cdot):$ 代表任何单调可微函数

逻辑回归---实现分类器

准备训练样本
训练分类器
对新样本分类

单位阶跃函数(unit-step function)

$y= \begin{cases} 0& \text{z<0}\\ 1& \text{z>=0} \end{cases}$

二分类问题：1/0----正例或反例

线性回归 $z=wx+b \Longrightarrow$ 分类器 $0/1$

对数几率函数(logistic function)

$y= \frac {1}{1+e^{-z}} \Longrightarrow In \frac {y}{1-y}=z$

单调上升，连续光滑
任意阶可导

对数几率回归/逻辑回归(logistic regression)

$y=\frac {1}{1+e^{-(wx+b)}}$

可以预测概率
是sigmoid函数的典型代表

Sigmoid函数

$y=g^{-1}(z)=\sigma(z)=\sigma(wx+b),\sigma(z)= \frac {1}{1+e^{-z}} = \frac {1}{1+e^{-(wx+b)}}$

多元模型

$y= \frac {1}{1+e^{-(W^{T}X)}},W=(w_0,w_1,...,w_m)^T,X=(x^0,x^1,...,x^m)^T,x^0=1$

交叉熵损失函数

逻辑回归 $y=g^{-1}(z)=\sigma (z)=\sigma (wx+b)$
$\sigma (z)= \frac {1}{1+e^{-z}} = \frac {1}{1+e^{-(wx+b)}}$
平方损失函数 $Loss=\frac {1}{2} \sum^{n}_{i=1}(y_i-\hat{y}_i)^2= \frac {1}{2}\sum^{n}_{i=1}(y_i-\sigma(wx_i+b))^2= \frac {1}{2}\sum^{n}_{i=1}(y_i-\frac {1}{1+e^{-(wx+b)}})^2$
$w^{(k+1)}=w^{(k)}-\eta \frac {\partial Loss}{\partial w},\frac {\partial Loss}{\partial w}=\sum^{n}_{i=1}(y_i-\sigma(wx+b))(-\sigma '(wx_i+b))x_i$
$b^{(k+1)}=b^{(k)}-\eta \frac {\partial Loss}{\partial b},\frac {\partial Loss}{\partial w}=\sum^{n}_{i=1}(y_i-\sigma(wx+b))(-\sigma '(wx_i+b))$

逻辑回归中，经常使用交叉熵损失函数

交叉熵损失函数表达

$Loss=-\sum^{n}_{i=1}[y_i In \hat{y}_i+(1-y_i)In(1-\hat{y}_i)],y_i代表第i个样本的标记，\hat{y}_i=\sigma(wx_i+b)$

平均交叉熵损失函数

$Loss=- \frac {1}{n} \sum^{n}_{i=1}[y_i In \hat{y}_i+(1-y_i)In(1-\hat{y}_i)]$
具备两条损失函数的基本性质，非负性和一致性
$\frac {\partial Loss}{\partial w}=\frac {1}{n} \sum^{n}_{i=1}x_i(\hat{y}_i-y_i),\frac {\partial Loss}{\partial b}=\frac {1}{n} \sum^{n}_{i=1}(\hat {y}_i-y_i)$

准确率(accuracy)：正确分类的样本数/总样本数

交叉熵损失函数能够很好地反映出概率之间的误差，是训练分类器时的重要分类依据

tensorflow实现逻辑回归

加载数据

import tensorflow as tf
print("tensorflow version:",tf.__version__)

tensorflow version: 2.2.0

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as  plt

x=np.array([137.97,104.50,100.00,126.32,79.20,99.00,124.00,114.00,106.69,140.05,53.75,46.91,68.00,63.02,81.26,86.21])
y=np.array([1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0])

数据处理

x_train=x-np.mean(x)
y_train=y

设置超参数

learn_rate=0.005
iter=5

display_step=1

设置模型变量的初始值

np.random.seed(612)
w=tf.Variable(np.random.randn())
b=tf.Variable(np.random.randn())

训练模型

x_=range(-80,80)
y_=1/(1+tf.exp(-(w*x_+b)))
plt.scatter(x_train,y_train)
plt.plot(x_,y_,color="red",linewidth=3)

cross_train=[]
acc_train=[]

for i in range(0,iter+1):
    
    with tf.GradientTape() as tape:
        pred_train = 1/(1+tf.exp(-(w*x_train+b)))
        Loss_train=-tf.reduce_mean(y_train*tf.math.log(pred_train)+(1-y_train)*tf.math.log(1-pred_train))
        Accuracy_train=tf.reduce_mean(tf.cast(tf.equal(tf.where(pred_train<0.5,0,1),y_train),tf.float32))
        
    cross_train.append(Loss_train)
    acc_train.append(Accuracy_train)
    
    dL_dw,dL_db=tape.gradient(Loss_train,[w,b])
    
    w.assign_sub(learn_rate*dL_dw)
    b.assign_sub(learn_rate*dL_db)
    
    if i%display_step==0:
        print("i:%i,Train Loss:%f, Accuracy: %f" % (i,Loss_train,Accuracy_train))
        y_=1/(1+tf.exp(-(w*x_+b)))
        plt.plot(x_,y_)

i:0,Train Loss:0.852807, Accuracy: 0.625000
i:1,Train Loss:0.400259, Accuracy: 0.875000
i:2,Train Loss:0.341504, Accuracy: 0.812500
i:3,Train Loss:0.322571, Accuracy: 0.812500
i:4,Train Loss:0.313972, Accuracy: 0.812500
i:5,Train Loss:0.309411, Accuracy: 0.812500

output_12_1.png

线性分类器

由直线 $f(x_1,x_2)=w_1x_1+w_2x_2+b \Longrightarrow w_1x_1+w_2x_2+b=0$ 将数据集分成两类， $f(x_1,x_2)>0$ 为一类， $f(x_1,x_2)>0$ 为另一类
高维空间中存在这样的超平面 $w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+b=0$
决策边界：m维空间：超平面 $W^TX=0$
逻辑回归相当于就是构建一个线性分类器，实现对线性可分数据集的划分，其中的线性模型就是决策边界
在逻辑运算中，与运算、或运算、非运算均是线性可分的，而异或运算是非线性可分的

实现多元逻辑回归对鸢尾花数据集分类

150个样本

4个属性

花萼长度
花萼宽度
花瓣长度
花瓣宽度

1个标签

山鸢尾
变色鸢尾
维吉尼亚鸢尾

加载数据

import tensorflow as tf
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
cm_pt = mpl.colors.ListedColormap(['red', 'green'])

TRAIN_URL="http://download.tensorflow.org/data/iris_training.csv"
train_path=tf.keras.utils.get_file(TRAIN_URL.split('/')[-1],TRAIN_URL)

df_iris=pd.read_csv(train_path,header=0)

df_iris[:2]

处理数据

iris=np.array(df_iris)
iris.shape

(120, 5)

# 只取出花萼的长度和宽度两个属性来训练模型
train_x=iris[:,0:2]
train_y=iris[:,4]
train_x.shape,train_y.shape

((120, 2), (120,))

# 只取出来两类鸢尾类型来实现分类器
x_train=train_x[train_y<2]
y_train=train_y[train_y<2]
x_train.shape,y_train.shape

((78, 2), (78,))

num=len(x_train)

可视化样本,属性中心化

x_train=x_train-np.mean(x_train,axis=0)
plt.scatter(x_train[:,0],x_train[:,1],c=y_train,cmap=cm_pt)
plt.show()

output_26_0.png

处理数据-生成多元模型的属性矩阵和标签列向量

x0_train=np.ones(num).reshape(-1,1)

X=tf.cast(tf.concat((x0_train,x_train),axis=1),tf.float32)
Y=tf.cast(y_train.reshape(-1,1),tf.float32)
X.shape,Y.shape

(TensorShape([78, 3]), TensorShape([78, 1]))

设置超参数和模型参数初始值

learn_rate=0.2
iter=180

display_step=30

np.random.seed(612)
W=tf.Variable(np.random.randn(3,1),dtype=tf.float32)

训练模型

ce=[]
acc=[]

for i in range(0,iter+1):
    with tf.GradientTape() as tape:
        PRED=1/(1+tf.exp(-tf.matmul(X,W)))
        Loss=-tf.reduce_mean(Y*tf.math.log(PRED)+(1-Y)*tf.math.log(1-PRED))
        
    accuracy=tf.reduce_mean(tf.cast(tf.equal(tf.where(PRED.numpy()<0.5,0.,1.),Y),tf.float32))
    ce.append(Loss)
    acc.append(accuracy)
    
    dL_dW=tape.gradient(Loss,W)
    W.assign_sub(learn_rate*dL_dW)
    
    if i%display_step==0:
        print("i: %i, Acc: %f, Loss: %f" % (i,accuracy,Loss))

i: 0, Acc: 0.230769, Loss: 0.994269
i: 30, Acc: 0.961538, Loss: 0.481892
i: 60, Acc: 0.987179, Loss: 0.319128
i: 90, Acc: 0.987179, Loss: 0.246626
i: 120, Acc: 1.000000, Loss: 0.204982
i: 150, Acc: 1.000000, Loss: 0.177490
i: 180, Acc: 1.000000, Loss: 0.157764

可视化----绘制损失和准确率变化曲线

plt.figure(figsize=(5,3))
plt.plot(ce,color="blue",label="Loss")
plt.plot(acc,color="red",label="acc")
plt.legend()
plt.show()

output_34_0.png

绘制决策边界
$w_1x_1+w_2x_2+w_0=0,x_2=-\frac {w_1x_1+x_0}{w_2}$

plt.scatter(x_train[:,0],x_train[:,1],c=y_train,cmap=cm_pt)
x_=[-1.5,1.5]
y_=-(W[1]*x_+W[0])/W[2]
plt.plot(x_,y_,color='g')
plt.show()

output_36_0.png

多分类问题

自然顺序码

0 - 山鸢尾
1 - 变色鸢尾
2 - 维吉尼亚鸢尾

独热编码

使非偏序关系的数据，取值不具有偏序性
到原点等距
(0,0,1) - 山鸢尾
(0,1,0) - 变色鸢尾
(1,0,0) - 维吉尼亚鸢尾

应用

离散的特征
多分类问题中的类别标签

此外，还有独冷编码，与独热编码相反

softmax()函数：显著地改变概率大小