矩阵——基础知识

作者: madao756 | 来源:发表于2019-11-18 23:21 被阅读0次

前言：现在我们开始复习矩阵的基础知识，开始学习的时候要注意和「行列式」的区别

加法

与行列式的加法不同：

$\left\{\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right\} + \left\{\begin{matrix}5&6\\7&8\end{matrix}\right\} = \left\{\begin{matrix}6&8\\10&12\end{matrix}\right\}$

只能相同大小的矩阵相加并且对应元素直接相加

数乘

与行列式的数乘不同：

$\lambda A = A\lambda = \left\{\begin{matrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\lambda a_{n1}&\lambda a_{n2}&\cdots&\lambda a_{nn}\end{matrix}\right\}$

矩阵乘法

最好横着写！

转置

转置的本质就是，矩阵沿着主对角线作对称！接下来我们介绍下跟转置相关的运算：

$(A^T)^T = A$
$(A+B)^T = A^T + B^T$
$(\lambda A)^T = \lambda A^T$
$(AB)^T = B^TA^T$

矩阵与方阵行列式总结

矩阵不满足交换律但是仍然满足结合律和分配率

$(AB)C = A(BC)$
$\lambda(AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)$
$A(B+C) = AB+AC,(B+C)A = BA + CA$
$EA = AE = A$

方阵行列式总结

$|A^T| = A$
$|\lambda A| = \lambda^{n}|A|$
$|AB| = |A||B|$
$|A^k| = |A|^k$

方阵的逆

对于 n 阶矩阵 A（方阵），如果有一个 n 阶矩阵 B，使得：

$AB = BA = E$

则称 A 是可逆的，而且如果 A 是可逆的那么 A 的逆矩阵是唯一的记做 $A^{-1}$

现在来说说逆矩阵的相关性质：

若矩阵 A 可逆，则 $A \neq 0$
若 $|A| \neq 0$ ，则矩阵可逆且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}$ ，其中 $A^{*}$ 是伴随矩阵（后面说）

对于可逆矩阵 A，非零 $\lambda$ ：

$(A^{-1})^{-1} = A$
$(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda}A^{-1}$
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^{T}$
$A^0 = E, A^{-k} = (A^{-1})^{-k}$
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

方阵的幂

$A^{\lambda}A^{\mu} = A^{\lambda + \mu}$
$(A^{\lambda})^{\mu} = A^{\lambda \mu}$

伴随矩阵

基本定义

假设我们有如下方阵：

$\left\{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{matrix}\right\}$

现在我们写出它的伴随矩阵

$\left\{\begin{matrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{matrix}\right\}$