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一道小学奥数题目的推导

一道小学奥数题目的推导

作者: 理查杨哥 | 来源:发表于2018-07-23 11:54 被阅读0次

    简述

    暑假期间,为了帮助家中小朋友拓展个人能力,让他学着去完成一些奥数题目,发现其中有一类题型特别常见,示例见下:

    1. 1 x 2 + 2 x 3 + . . . + 99 x 100 = 99 x 100 x 101 / 3
    2. 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + . . . + 98 x 99 x 100 = 98 x 99 x 100 x 101 / 4
    3. 1 x 3 + 3 x 5 + . . . + 97 x 99 = (1 x 3 + 97 x 99 x 101) / 6
    4. 1 x 4 + 4 x 7 + . . . + 96 x 99 = (1 x 4 x 2 + 96 x 99 x 102) / 9

    思考

    粗看之下,会感觉上面的公式没有通用型 ,完全不是一个类型。但是,如果你仔细看完成 ,并了解其中的公式推导流程的话,其实你会发现一些东西:

    1. 每个公式中的每一个累加项之间都是存在相同的等差关系
    2. 公式中的子项乘积项的多少,以及等差值,会直接体现在后面的结果公式中

    推导

    通过上面的一些思考虑与观察,我们能直接把上面的问题推导为以下问题的一个子集:
    a1 x a2 x a3 x . . . x am + a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 + . . . + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k

    其中{a1a2. . .a2m+k}是一个等差数列,每一项均为整数,其中a1暂规定值为1,其他值大于等于2,等差标识为d.

    通过对之前示例公式推导过程及其结果,我们大胆假设它的值求导公式会与几个值相关:

    1. 初项公式
    2. 终项公式
    3. 等差值
    4. 因式长度

    最后的结果通用公式应该为:
    a1 x a2 x a3 x . . . x am + a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 + . . . + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k = (a1 x a2 x a3 x . . . x am x (d - 1) + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k x a2m+k + 1) / ((m + 1) x d)

    当d值为1的时候,结果公式退化为:
    a1 x a2 x a3 x . . . x am + a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 + . . . + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k = am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k x a2m+k + 1 / ((m + 1) x d)

    详细推导公式见下:

    1. a1 x a2 x a3 x . . . x am = a1 x a2 x a3 x . . . x am x (d * (m + 1)) / (d * (m + 1))
    2. a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 = (a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 x am+2 -- a1 x a2 x a3 x . . . x am+1) / (d * (m + 1))

    以此类推因式项,把所有因式项相加,因此有:
    a1 x a2 x a3 x . . . x am + a2 x a3 x a4 x . . . x am+1 + . . . + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k = (a1 x a2 x a3 x . . . x am x (d - 1) + am+k x am+k+1 x . . . x a2m+k x a2m+k + 1) / ((m + 1) x d)

    推论得以证明是对的。

    求证

    按照上面的公式我们可以来求证一些其他例子:

    1. 1 x 5 + 5 x 9 + 9 x 13 = (1 x 5 x (4 - 1) + 9 x 13 x 17) / (4 x (2+1)) = 167 (其中差值为4,因式项数为2)
    2. 1 x 3 x 5 + 3 x 5 x 7 + 5 x 7 x 9 = (1 x 3 x 5 x (2 - 1) + 5 x 7 x 9 x 11) / ( 2 x (3 + 1)) = 435 (其中差值为2, 因式数为3)

    经验证,使用通项公式得出的结果与原式结果相同。

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