一道小学奥数题目的推导

简述

暑假期间，为了帮助家中小朋友拓展个人能力，让他学着去完成一些奥数题目，发现其中有一类题型特别常见，示例见下：

1. 1 x 2 + 2 x 3 + . . . + 99 x 100 = 99 x 100 x 101 / 3
2. 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + . . . + 98 x 99 x 100 = 98 x 99 x 100 x 101 / 4
3. 1 x 3 + 3 x 5 + . . . + 97 x 99 = (1 x 3 + 97 x 99 x 101) / 6
4. 1 x 4 + 4 x 7 + . . . + 96 x 99 = (1 x 4 x 2 + 96 x 99 x 102) / 9

思考

粗看之下，会感觉上面的公式没有通用型 ，完全不是一个类型。但是，如果你仔细看完成 ，并了解其中的公式推导流程的话，其实你会发现一些东西：

1. 每个公式中的每一个累加项之间都是存在相同的等差关系
2. 公式中的子项乘积项的多少，以及等差值，会直接体现在后面的结果公式中

推导

通过上面的一些思考虑与观察，我们能直接把上面的问题推导为以下问题的一个子集：
a₁ x a₂ x a₃ x . . . x a_m + a₂ x a₃ x a₄ x . . . x a_m+1 + . . . + a_m+k x a_m+k+1 x . . . x a_2m+k

其中{a₁a₂. . .a_2m+k}是一个等差数列，每一项均为整数，其中a₁暂规定值为1，其他值大于等于2，等差标识为d.

通过对之前示例公式推导过程及其结果，我们大胆假设它的值求导公式会与几个值相关：

1. 初项公式
2. 终项公式
3. 等差值
4. 因式长度

最后的结果通用公式应该为：
a₁ x a₂ x a₃ x . . . x a_m + a₂ x a₃ x a₄ x . . . x a_m+1 + . . . + a_m+k x a_m+k+1 x . . . x a_2m+k = (a₁ x a₂ x a₃ x . . . x a_m x (d - 1) + a_m+k x a_m+k+1 x . . . x a_2m+k x a_{2m+k + 1}) / ((m + 1) x d)

当d值为1的时候，结果公式退化为:
a₁ x a₂ x a₃ x . . . x a_m + a₂ x a₃ x a₄ x . . . x a_m+1 + . . . + a_m+k x a_m+k+1 x . . . x a_2m+k = a_m+k x a_m+k+1 x . . . x a_2m+k x a_{2m+k + 1} / ((m + 1) x d)

详细推导公式见下：

1. a₁ x a₂ x a₃ x . . . x a_m = a₁ x a₂ x a₃ x . . . x a_m x (d * (m + 1)) / (d * (m + 1))
2. a₂ x a₃ x a₄ x . . . x a_m+1 = (a₂ x a₃ x a₄ x . . . x a_m+1 x a_m+2 -- a₁ x a₂ x a₃ x . . . x a_m+1) / (d * (m + 1))

以此类推因式项，把所有因式项相加，因此有：
a₁ x a₂ x a₃ x . . . x a_m + a₂ x a₃ x a₄ x . . . x a_m+1 + . . . + a_m+k x a_m+k+1 x . . . x a_2m+k = (a₁ x a₂ x a₃ x . . . x a_m x (d - 1) + a_m+k x a_m+k+1 x . . . x a_2m+k x a_{2m+k + 1}) / ((m + 1) x d)

推论得以证明是对的。

求证

按照上面的公式我们可以来求证一些其他例子：

1. 1 x 5 + 5 x 9 + 9 x 13 = (1 x 5 x (4 - 1) + 9 x 13 x 17) / (4 x (2+1)) = 167 (其中差值为4，因式项数为2)
2. 1 x 3 x 5 + 3 x 5 x 7 + 5 x 7 x 9 = (1 x 3 x 5 x (2 - 1) + 5 x 7 x 9 x 11) / ( 2 x (3 + 1)) = 435 (其中差值为2， 因式数为3）

经验证，使用通项公式得出的结果与原式结果相同。