线性代数

线性代数

作者: 阳光下的蚂蚁 | 来源:发表于2015-09-01 20:29 被阅读251次

考研复习笔记-线性代数

作者创建时间复习1 复习2 复习3 复习4 林加贤 2015-08-31

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考纲

行列式

矩阵

特征值和特征向量

向量组

线性方程组

二次型

行列式

定义

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =\sum {(-1)^t a_{1p_1}a_{2p_2} \cdots a_{np_n}}$
t为逆序数（怎么求解逆序数）

性质

何为对换，对换性质
转置相等
互换变号
相等为零
因子可提
比例为零
元素可拆
比例相加不变
强调部分为行列式三种基本运算

展开定理

$D=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij} ~$ 或 $~ D=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij}$
余子式、代数余子式概念

特殊行列式

对角行列式
上（下）三角行列式
上（下）分块行列式
范徳蒙徳行列式
$D_n=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{n\geq i \geq j \geq 1} (x_i-x_j)$
雅可比行列式

矩阵

定义：m*n数表

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}$
方阵，n*n数表

运算

加法和数乘
矩阵相乘、幂
- $C_{m*n}=A_{m*s}B_{s*n},~ c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$
- 不满足交换律
矩阵转置
- $(A^T)^T=A;~(A+B)^T=A^T+B^T;~(\lambda A)^T=\lambda A^T;~ (AB)^T=B^TA^T$
方阵行列式
- $|A^T|=|A|;~ |\lambda A|=\lambda^n|A|;~ |AB|=|A||B|$
方阵伴随矩阵
- $A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{n1} \end{pmatrix}$
- $AA^*=A^*A=|A|E$

逆矩阵

定义： $AB=BA=E，\text{则}B=A^{-1}$
定理
- A可逆 $\Leftrightarrow |A|\neq 0$
- AB=E 或 $~ BA=E \Rightarrow B=A^{-1}$

性质

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$ ;
$(A^{-1})^{-1}=A;~ (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1};~ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1};~ (A^T)^{-1}=(A^{_1})^T$

分块矩阵

分块矩阵加法、乘法
分块对角矩阵
- 行列式
- 逆矩阵
按行分块，按列分块

等价矩阵

初等行变换（列同）
- $r_i \leftrightarrow r_j;~r_i*k;~r_i+r_j*k$
矩阵等价
- 定义（初等变换）与性质（反身、对称、传递）
- 行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形
定理
- $A ~r\sim B \Leftrightarrow \exists P(|P|\neq 0),PA=B$
- $A ~c\sim B \Leftrightarrow \exists Q$ (可逆), $AQ=B$
- A可逆 $\Leftrightarrow A~r\sim E$ 初等变换求逆矩阵

矩阵的秩

定义：k阶子式，最高阶非零子式
性质
- - $R(A^T)=R(A)$
  - $A \sim B \Rightarrow R(A)=R(B)$ 初等变换求秩
  - $\max\{R(A),R(B)\}\leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)$
  - $R(A)\leq R(A,b)\leq R(A)+1$
  - $R(A+B)\leq R(A)+R(B)$
  - $R(AB)\leq \min\{R(A),R(B)\}$
  - $A_{m*n}B_{n*l}=O,\Rightarrow R(A)+R(B)\leq n$

方阵的特征值和特征向量

定义： $Ax=\lambda x,x$ 为特征向量, $\lambda$ 为特征值
性质定理
- $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$
- $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=|A|$
- 为A特征值,则为特征值
  - $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ 各不相同,则 $p_1,p_2,\cdots,p_m$ 线性无关$
相似变换
- 定义:，相似矩阵，相似变换矩阵
  - 定理：相似则特征多项式、特征值相同
对角化（相似变换成对角矩阵）
- 可对角化充要条件:A存在n个线性无关特征向量
- 可对角化充分条件:A存在n个不同的特征值
  - 对称矩阵对角化
    1. 求对称矩阵特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$ ,重数为 $k_1,k_2,\cdots,k_s$ ；
    2. 对每个 $\lambda_i,求(A-\lambda_i E)x=0$ 基础解系，的 $k_i$ 个线性无关特征向量；
    3. 施密特正交化，构成正交矩阵P(P列向量与 $\Lambda$ 对角元素相对应)。

特殊矩阵（及相应线性变换）

单位矩阵 $E=\text{diag}(1,1,\cdots,1)$
对角矩阵
- $\Lambda^k=\text{diag}(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k)$
- - $(a_1,a_2,\cdots, a_n)*\Lambda=(\lambda_1a_1,\lambda_2a_2,\cdots, \lambda_na_n)$
- 对角矩阵特征值为对角元素
对称矩阵
- $\lambda_1\neq \lambda_2 \Rightarrow p_1,p_2正交$
- $\exists 正交矩阵P，使P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$
正交矩阵
- 充要条件：列向量都是单位向量且两两正交
  - 正交变换：长度保持不变

向量

内积

定义： $[x,y]=\sum x_iy_i=x^T y$
性质
$[x,y]=[y,x];~[\lambda x,y]=\lambda[x,y];~[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$
施瓦茨不等式： $[x,y]^2\geq [x,x][y,y]$

长度

定义： $\|x\|=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i}$
性质： $\|x\|\geq 0;~\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|;~\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

夹角 $\theta=\text{arccos}\frac{[x,y]}{\|x\|\|y\|}$

正交 $[x,y]=0$

向量组

定义： $A=(a_1,a_2,\cdots,a_m)$
线性表示
- 向量线性表示： A的线性组合
  - 充要条件： $R(A)=R(A,b)$
- 向量组线性表示：B的列向量能由A线性表示
  - 充要条件： $R(A)=R(A,B)$
  - A线性表示B $\Rightarrow R(B)\leq R(A)$
- 向量组等价
  - 定义：相互线性表示
  - 充要条件： $R(A)=R(B)=R(A,B)$
线性相关性
- 定义：
  - 线性相关：不全为零的使
    - 充要条件：$R(A)
- 线性无关：不存在不全为零的使
  - 充要条件： $R(A)=m$
- 定理
  - A线性相关，则B=(A,b)也线性相关；B线性无关，则A也线性无关；
向量组的秩
- 定义：最大线性无关向量组
- 定理
  - 向量组的秩等于矩阵的秩
    - 最大线性无关组等价定义
向量组正交性
- 两两正交
- 两两正交且非零，则线性无关
向量空间
- 定义：加法、数乘封闭的向量集合
- 基：相当于向量组最大无关向量组
  - 基变换公式，过度矩阵
  - 规范正交基：两两正交且为单位向量
  - 施密特正交化
    - 正交化: $b_r=a_r-\sum_{i=1}^{r-1}\frac{[b_i-a_r]}{[b_i,b_i]}b_{i}$
    - 单位化: $e_i=\frac{1}{\|b_i\|}b_i$
- 维：相当于向量组的秩

线性方程组

克拉默法则
- $A_{n*n}x=b,|A|=D\neq 0$ ,有唯一解 $~x=A^{-1}b=\frac{1}{|A|}A^*b,~x_i=\frac{D_i}{D}$
- 无解：$R(A)
- 唯一解： $R(A)=R(A,b)=n$
- 无限多解：$r=R(A)=R(A,b)
矩阵方程
- 有解充要条件： $R(A)=R(A,B)$
解的结构
- 齐次方程组
  - 基础解系：解集的最大无关向量组如何求解基础解系
  - R(A)=r,则解集S的秩Rs=n-r
  - $x_1,x_2为Ax=0的解，则x_1+x_2,k*x1也是Ax=0的解$
- 非齐次方程组
  - $x_1,x_2为非齐次的解，则x_1-x_2为齐次的解$
  - $x_1为非齐次的解，x_0为齐次的解，则x_0+x_1为非齐次的解$

二次型

定义：二次齐次函数
- $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j(a_{ij}=a_{ji})=x^T A x(A为对称阵)$ 二次型与对称矩阵一一对应
- 标准形：只含平方项
- 规范形：系数为-1,0,1的标准形
标准化
- 合同对角化
  1. $f=x^T A x$ A正交对角化 $P^T A P=\Lambda$
  2. $x=Py \Rightarrow f=y^T \Lambda y$ (标准形)
  3. $K=diag(\frac{1}{\sqrt{\lambda_1}},\frac{1}{\sqrt{\lambda_2}},\cdots,\frac{1}{\sqrt{\lambda_n}}),y=Kz$ （规范形）
- 拉格朗日配方法
  - 有平方项直接配方
  - 无平方项令 $x_i=y_1+y_2,x_j=y_1-y_2$ 构造平方项
正定二次型
- 定义： $x\neq 0,f(x)>0$
- 定理：
  - 正定 $\Leftrightarrow$ 惯性指数为n标准化正系数个数不变，称为正惯性指数
  - 正定 $\Leftrightarrow$ 特征值全为正
  - 正定 $\Leftrightarrow$ A的各阶主子式全为正

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