2018-09-17

2018-09-17

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2018-09-17 21:59 被阅读0次

常见的傅里叶变换
- 1、冲激函数： $\delta(t)\leftrightarrow 1$
- 2、单边指数函数： $e^{-\alpha t}\varepsilon (t) \leftrightarrow \frac{1}{\alpha + j\omega}$
- 3、双边指数信号： $e^{-\alpha |t|} \leftrightarrow \frac{2\alpha}{\alpha^{2} +\omega^{2}}$
- 两个信号都只是在 $\alpha > 0$
- 4、门函数： $G_{\tau}(t) \leftrightarrow \tau \cdot Sa(\frac{\omega \tau}{2})$
- 门脉冲，高度为1，宽度为 $\tau$
- 5、阶跃信号： $\varepsilon(t) \leftrightarrow \pi \cdot \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}$
- 6、直流： $1 \leftrightarrow 2\pi \cdot \delta(\omega)$
- 7、复正弦信号： $e^{j\omega_{c}t} \leftrightarrow 2\pi \cdot \delta(\omega - \omega_{c})$
- $\cos(\omega_{c} t) \leftrightarrow \pi \cdot[\delta(\omega + \omega_c) + \delta(\omega - \omega_c)]$
- $\sin(\omega_{c} t) \leftrightarrow j\pi \cdot[\delta(\omega + \omega_c) - \delta(\omega - \omega_c)]$
- $-j = e^{-j\frac{\pi}{2}}$
周期性信号的傅里叶变换
- $f(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}c_n e^{jn\Omega t}$
- $F(j\omega) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} 2\pi c_n \delta (\omega - n\Omega)$
- 周期性信号的傅里叶变换是一系列间隔均匀的冲激序列。
- 均匀冲激序列
- $\delta(t) \leftrightarrow \Omega\sum_{n = -\infty}^{+\infty}\delta(\omega - n\Omega )$
傅里叶变换性质
- 1、线性性质
  - $a \cdot f_1(t) + b \cdot f_2(t)\leftrightarrow a \cdot F_1(j\omega ) + b \cdot F_2(j\omega )$
- 2、延时性质
  - $f(t - t_0) \leftrightarrow F(j\omega )e^{-j\omega t_0}$
- 3、移频特性
- $f(t)e^{j\omega_c t}\leftrightarrow F [j(\omega - \omega_c)]$
- 移频特性与延时特性互成对偶
- $f(t)\cos(\omega_c t) \leftrightarrow \frac{1}{2}\{F[j(\omega + \omega_c)] + F[j(\omega - \omega_c)]\}$
- $AM$ 波调制
- 4、尺度变换
- $f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F[j\frac{\omega }{a}]$
- 信号的宽度 $\tau$ 沿时间轴压缩 $a$ 倍,信号的频率宽度 $B$ 沿频率轴扩展 $a$ 倍。
- 5、奇偶虚实性
- - $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\omega t)dt - j \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin(\omega t)dt$
  - $= R(\omega) - jX(\omega) = |F(j\omega)|e^{-j\varphi (\omega)}$
  - 虚部 $|F(j\omega)|$ 偶函数
  - $\varphi(\omega) = \arctan(\frac{X(\omega)}{R(\omega)})$ 奇函数
  - 信号的反摺或者共轭后的 $FT$
  - a. $f(-t) \leftrightarrow F(-j\omega)$
  - b. $f^{*}(t) \leftrightarrow F^{*}(-j\omega)$
  - c. $f^{*}(-t) \leftrightarrow F^{*}(j\omega)$
  - $F(j\omega) = F^{*}(-j\omega)$
  - $f(t)$ 是实偶函数, $F(j\omega)$ 也是实偶函数
  - $f(t)$ 是实奇函数, $F(j\omega)$ 也虚奇函数
- 6、对称特性
  - $f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$ 则 $F(jt) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$
- 7、微分特性
  - $\frac{df(t)}{dt}$ 存在并且满足 $Direchlet$ 条件,则： $\frac{d}{dt}f(t) \leftrightarrow j\omega F(j\omega)$
  - $\frac{d^{n}}{dt^{n}}f(t) \leftrightarrow (j\omega)^{n} F(j\omega)$
- 8、积分特性
  - $\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau \leftrightarrow \pi F(0)\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}F(j\omega)$
  - 如果 $F(0) = 0$ ,或 $\lim_{\omega \to 0}\frac{F(\omega)}{\omega}$ 存在有限,则
  - $\int_{-\infty}^{t}f(\tau )d\tau \leftrightarrow \frac{1}{j\omega }F(j\omega)$
- 9、频域微积分
  - $-jtf(t) \leftrightarrow \frac{d}{d\omega}F(j\omega)$
  - $\pi f(0)\delta{t} + j\frac{f(t)}{t}\leftrightarrow \int_{-\infty}^{\omega}F(j\Omega)d\Omega$
  - $[\pi \delta(t) + j\frac{1}{t}]f(t)\leftrightarrow \int_{-\infty}^{\omega}F(j\Omega)d\Omega$
  - $(-jt)^{n}f(t) \leftrightarrow \frac{d^{n}}{d\omega^{n}}F(j\omega)$
- 10、卷积定理
  - $f_1(t)\ast f_2(t)\leftrightarrow F_1(j\omega) F_2(j\omega)$
  - $f_1(t)f_2(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(j\omega) \ast F_2(j\omega)$
能量频谱和功率频谱
- 周期性信号的功率谱:周期性信号的能量无穷大,无法在能量上估计，但功率是有限的.
  - 单边功率谱:在每个不等于0的(非直流)频率上子信号功率为 $\frac{1}{2}A_n^{2}$
    直流信号的功率为 $\frac{1}{4}A_0^{2}$
  - 对于双边功率谱,在每个频率点上子信号功率
    - = $|c_n|^{2} = [\frac{|\dot{A_n}|}{2}]^{2}$
    - 功率谱只有大小（幅度），没有相位。
  - 定理
    - 周期性信号的功率等于该信号在完备正交函数集中分解后各个子信号功率的和。
- 能量信号(脉冲信号)能量谱
  - 能量谱(功率为0,能量为有限)
  - 信号在各个频谱上的实际分量大小为无穷小,只能用能量密度谱来描述 $G(\omega)$ 描述单位频带内的信号能量.
  - 信号总能量
    - $W = \int_{-\infty}^{+\infty}f^{2}(t)dt = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)f^{*}(t)dt$
      $= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}|F(j\omega)|^{2}d\omega$
  - 单位频带内信号
    - 双边能量谱
    - $G(\omega) = \frac{1}{2\pi}|F(j\omega)|^{2}$
    - 如果信号是实数信号,单边能量谱
    - $G(\omega) = \frac{1}{\pi}|F(j\omega)|^{2}$
- 2、定理
  - 信号在时域和频域的能量相等
  - 双边谱
  - $W = \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(j\omega)|^{2}d\omega = \int_{-\infty}^{+\infty}|F(j2\pi f)|^{2}df$
  - 单边谱
  - $W = \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^{2}dt = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(j\omega)|^{2}d\omega = 2\int_{-\infty}^{+\infty}|F(j2\pi f)|^{2}df$
- 脉冲宽度:脉冲的绝大部分能量集中的时间区间
  - $\int_{t_0}^{t_0 + \tau} |f(t)|^{2} dt = \eta W$
- 频带宽度:脉冲的绝大部分能量集中的频率区间
  - $\frac{1}{\pi}\int_{\omega_0}^{\omega_0 + B} |F(j\omega)|^{2} d\omega = \eta W$
- 对于一种固定形状的脉冲而言, $\tau \cdot B =$ 常数

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