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2018-09-14

2018-09-14

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2018-09-14 22:36 被阅读0次

第三章

连续时间信号的傅里叶变换

  • 振幅频谱 - 横坐标频率，纵坐标振幅
  • 相位频谱 - 横坐标频率，纵坐标相位
  • 1、f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} A_n \cos(n\Omega t + \varphi_n )
  • 振幅频谱 A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}
  • 相位频谱 \varphi_n = -arctan\frac{b_n}{a_n}
  • 矢量的分解：
    • \overrightarrow{A} = c_{1}\overrightarrow{A_1} + c_{2}\overrightarrow{A_2} +... + c_{n}\overrightarrow{A_n}
  • 如果矢量正交
    • c_i = \frac{A_i.A}{A_i.A_i}
    • 归一化，正交化，完备性
  • 单个标准信号下的分解:在时间区间(t_2,t_1)内,用c_1f_1(t)近似任意函数f(t)
  • 方均误差（误差的平均功率）
    • \overline{\varepsilon^2(t)} = \frac{1}{t_2 - t_1}\int^{t_2}_{t_1}\varepsilon^2(t)dt
    • 最佳系数c_1 = \frac{\int^{t_1}_{t_2}f(t)f_1(t)dt}{\int^{t_1}_{t_2}f_1(t)f_1(t)dt}
    • 如果c_1 = 0(\int^{t_1}_{t_2}f(t)f_1(t)dt = 0)则称f(t)与f_1(t)正交。
    • 复数(平方 = 自己乘以自己的共轭)
      • \overline{\varepsilon^2(t)} = \frac{1}{t_2 - t_1}\int^{t_2}_{t_1}|\varepsilon^2(t)|dt = \frac{1}{t_2 - t_1}\int^{t_2}_{t_1}\varepsilon(t).\varepsilon^{*}(t)dt
      • c_1 = \frac{\int^{t_1}_{t_2}f(t)f_1^{*}(t)dt}{\int^{t_1}_{t_2}f_1(t)f_1^{*}(t)dt}
  • 傅里叶级数
    • f(t) = a_o +\sum_{n = 1}^{+\infty}(a_n\cos(n\Omega t) +b_n\sin(n\Omega t))
    • 2、 f(t) = \frac{a_o}{2} +\sum_{n = 1}^{+\infty}(a_n\cos(n\Omega t) +b_n\sin(n\Omega t))
      • a_n = \frac{2}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cos(n\Omega t)dt
      • b_n = \frac{2}{t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2}f(t)\sin(n\Omega t)dt
      • 信号可以表示成一系列直流信号与正弦信号之和
    • Direchlet证明,只要满足三个条件,等式就收敛（均方收敛）
      • f(t)绝对可积,即:\int_{t_1}^{t_2}|f(t)|dt<\infty
      • f(t)在区间内有有限个间断点
      • f(t)在区间内有有限个极值点
    • Gibbs现象，随着n趋向于无穷,在函数的间断点附近 至少存在一点,其函数的分解误差收敛于函数在这点的跳变值的8.948987%。（逐点收敛）
  • 复指数形式傅里叶级数
    • 3、 f(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}[c_n.e^{jn\Omega t}]
    • {1, e^{j\Omega t}, e^{2j\Omega t},...e^{jn\Omega t}}
      • c_n = \frac{a_n - jb_n}{2}
    • 欧拉公式
      • e^{j\omega t} = \cos\omega t +j \sin\omega t
      • \cos\omega t = \frac{e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}}{2}
    • c_n = \frac{\int_{t_1}^{t_2} f(t) (e^{jn\Omega t})^{*}dt} {\int_{t_1}^{t_2}(e^{jn\Omega t})(e^{jn\Omega t})^{*}dt}
    • = \frac{1}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) (e^{-jn\Omega t})dt
    • c_n = \frac{A_n e^{j\varphi_n}}{2} = \frac{a_n - j b_n}{2}
    • 正交分解中，Parseval定理：信号的功率等于信号在完备正交函数集中分解后个子信号功率之和。
    • 在非正交函数集中分解后，信号的功率并不满足叠加性。
    • 叠加率在有效值时不成立
      • P = \sum_iP_i = \frac{a_0^2}{4} + \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{2}(a_i^2 + b_i^2) = \frac{A_0^2}{4} +\sum_{i = 1}^{\infty}\frac{A_i^2}{2} = \sum_{-\infty}^{\infty}c_i^2
  • 周期性信号的频谱
    • 频谱图：
      • 离散性，谐波性(间隔均匀，基波（正弦波分量称为基波）频率的整数点)，收敛性（随着频率趋向于无穷大，幅度趋向于0）

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