二进制

二进制，顾名思义，就是逢二进一的数字系统。逢二进一，也就是说，只会出现0和1两种数字。这应该是最简单的数字系统了吧。你也许听别人提过，电脑那家伙笨的很，只知道0和1。哈哈，现在的绝大多数计算机的确是基于二进制运行的。说到这，你不是不很自豪呢？我比计算机可要知道的太多了，现在，就让我们走进2的世界吧。
《道德经》有云：道生一，一生二，二生三，三生万物。现在看来功能强大无比的计算机，竟是建立在一串串不起眼的0、1上，让人不得不相信纷繁复杂的世界背后，一定蕴藏着一条简洁到极致的真理。
这时候聪明的你肯定会犯嘀咕了，既然计算机只认识0和1，那负数怎么表示呢？是吧，没有“-”号，怎么表示负数呢？当然也是用0或1来表示了。
这里说两个新概念，比特(bit)和字节(byte)。计算机中，一位数字称为1个比特，8位数字称为1个字节。为什么要引入字节的概念呢？这是因为1个比特只能表示两种不同的事物，而1个字节有8个比特，可以表示2^8(256)种不同的事物。那为什么一个字节是8个比特而不是9个、10个呢？实际上，字节这个概念最早是IBM提出来的，而IBM使用字节的一个原因则是它们易于以BCD这种格式保存(参见《编码的奥秘》)。
既然采用一个字节进行运算，那我们完全可以约定，这8个比特的其中一位，用来标识正负。而其中的一种约定就是，最高位的比特用来标识正负号，0代表正数，1代表负数。
好了，现在能表示正负数了。既然数都可以表示了，那就该做运算了。
现在，我们实现一个8位加法机，实现7位的加减法。1个字节能表示的数的范围是-128~127。

一. 先来做加法运算吧：

• 一：
  0000 0001
  0000 0011
  ---------·
  0000 0100
  这个很简单，一瞅就能2看出来结果是“0000 0100”。

• 二
  0100 0000
  0100 0000
  ---------·
  1000 0000
  咦，不对呀。两个正数相加，结果怎么是个负数？

• 三
  1010 0001
  1100 0010
  ---------·
  0110 0011
  这下两个负数相加，结果怎么是正数了？
  这就是溢出的问题了。两个正数相加得到负数，称为正溢出。两个负数相加得到正数，称为负溢出。

加法还简单，减法怎么做呢？
减法就是加上一个负数。前面说了，负数就是最高位为1的数。实际上，负数在计算机内部是采用2的补码形式存储的。2的补码是什么呢？它的转换步骤如下：
比如2的2进制是 0000 0010。现在看如何存储-2

1. 逐位取反。
   0000 0010 --> 1111 1101
2. 加1
   1111 1101
   0000 0001
   ---------·
   1111 1110

所以，-2在计算机中存储的是1111 1110，而不是1000 0010。
为什么采用2的补码呢？
先看我们最习惯的10进制看吧，24 - 16 = 8，这是两位数的减法，两位数中，最大的数是99，那么，用99减去被减数肯定就不需要借位了是吧，于是24 - 16 = 8 --> 24+(99-16) + 1 - 100 = 8。

• 接下来我们看下 4 - 2：
  4是0000 0100，-2是1111 1110
  0000 0100
  1111 1110
  ---------·
  0000 0010
  这里生了什么呢？
  0000 0100 + (1111 1111 - 0000 0010) + 1 - 1 0000 0000。是不是跟10进制里面的一样？取反就是拿8位数里最大的那个数-->1111 1111减去当前数。最后要减去1 0000 0000，因为我们只有8位，这里溢出的1就自动舍弃了。
• 那如果是2 - 4呢？
  2是0000 0010，-4呢？0000 0100-->1111 1011-->1111 1100
  0000 0010
  1111 1100
  ---------·
  1111 1110
  1111 1110是多少呢？我们以前说过是-2。结果也是对的。
• -2-2呢？
  1111 1110
  1111 1110
  ---------·
  1111 1100
  结果也是对的。都是一个道理。

好了，现在我们有1个字节，可以表示256种不同的事物，我们可以给符号以及字母编码来表示文本，这就是ASCII码了。
最后，提一下16进制。为什么提16进制呢？因为2^4=16。4个比特的数字对应一个16进制的数字，一个字节就可以用两个16进制数字来表示，这样读起来比8个01数字串简单多了。下面是二进制、十进制、十六进制对照表：

二进制	十进制	十六进制	二进制	十进制	十六进制
0000	0	0	1000	8	8
0001	1	1	1001	9	9
0010	2	2	1010	10	A
0011	3	3	1011	11	B
0100	4	4	1100	12	C
0101	5	5	1101	13	D
0110	6	6	1110	14	E
0111	7	7	1111	15	F