算法

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且指令表示一个或多个操作。
一个简单的加法算法

int i，sum=0，n=100;
sum = (1+n)*n/2;
printf("%d",sum);

• 算法定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

• 算法的特性

  • 输入输出
    • 算法具有零个或多个输入。
    • 算法至少有一个或多个输出。
  • 有穷性
    指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一步骤在可接受的时间内完成
  • 确定性
    算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。
  • 可行性
    算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能通过执行有限次数完成。

• 算法设计的要求

  • 正确性
    算法的正确性是指算法至少应该具有输入，输出和加工处理无歧义性，能正确反应问题的需求，能够得到问题的正确答案。
    1.算法程序没有语法错误
    2.算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。
    3.算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。
    4.算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的测试结果。
    一般租到层次3就行。
  • 可读性
    算法设计的另一目的是为了便于阅读，理解和交流。
  • 健壮性
    当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
  • 时间效率高和存储量低

• 算法效率的度量方法。

  • 事后统计方法
    这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
    • 实际上因为，编写测试程序复杂，硬件不同导致时间不同，测试数据的差异大，设计困难，一般不考虑用这个方法。
  • 事前分析估算方法
    在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。有以下因素
    • 算法采用的策略、方法。
    • 编译产生的代码质量。
    • 问题的输入规模。
    • 机器执行指令的速度。
  • 抛开计算机硬件，软件有关的因素，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。

• 函数的渐近增长

给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有n>N,f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。
实际上就是最高项越大越复杂 n^3>n2。

• 算法时间复杂度

  • 算法时间复杂度定义
    在进行算法分析是，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作:T(n) =O(F(n)).它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
    O(1)叫常数阶、O(n) 叫线性阶、O（n^2)叫做平方阶，当然，还有其他的一些阶，我们之后会介绍
  • 推导大O阶方法
    1.用常数1取代运行时间中所有加法常数
    2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
    3 .如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
    得到的结果就是大O阶。
  • 常数阶
    只要执行的单个单元，最高项也是常数，则都写成O(1)
  • 线性阶
    就是循环一次的差不多，O(n)；
  • 对数阶

      while(count<n){
      count = count * 2; 
      }```
    

  每次乘以2之后都更接近n
  2^n=n;
  所以是log（2） n底数是2.
  这个循环的复杂度也是O(log（2） n).
  • 平方阶
    O(n^2)

• 常见的时间复杂度

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n3)<O(2^n)<O(n!)<O(nn)

• 最坏情况与平均情况

  • 最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了，再应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
  • 平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

• 算法空间复杂度

算法空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n)).其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所站存储空进的函数。