习题五

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-10-16 17:19 被阅读0次

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设 $p$ 是奇素数，证明
(i) $1^2\cdot3^2\cdots(p-2)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}$
(ii) $2^2\cdot4^2\cdots(p-1)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}.$

(i)
Sol:
易知
有 $x\equiv(-1)(p-x)\pmod{p}$
所以有
$\begin{aligned} &1\equiv(-1)(p-1)\pmod{p}\\ &3\equiv(-1)(p-3)\pmod{p}\\ &\cdots\\ &(p-2)\equiv(-1)\cdot2\pmod{p} \end{aligned}$
所以
$1^2\cdot3^2\cdots(p-2)^2\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}(p-1)!\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot(-1)\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}$

(ii)
Sol:
由 (i) 有 $x\equiv(-1)(p-x)\pmod{p}$
$\begin{aligned} &2\equiv(-1)(p-2)\pmod{p}\\ &4\equiv(-1)(p-4)\pmod{p}\\ &\cdots\\ &(p-1)\equiv(-1)\cdot1\pmod{p} \end{aligned}$
所以
$2^2\cdot4^2\cdots(p-1)^2\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}(p-1)!\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot(-1)\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}$

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设 $p$ 是素数， $r_1,\cdots,r_{p-1}$ 与 $r_1',\cdots,r_{p-1}'$ 是模 $p$ 的两个缩系，证明：
$r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}'$ 不是模 $p$ 的缩系.

Sol:
反证法
设 $r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}'$ 是模 $p$ 的缩系.
则有 $r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}'$ 模 $p$ 为 $1,2,\cdots,p-1$
所以有
$r_1r_1'\cdots r_{p-1}r_{p-1}'\equiv(p-1)!\equiv-1\pmod{p}$
且 $r_1,\cdots,r_{p-1}$ 与 $r_1',\cdots,r_{p-1}'$ 模 $p$ 为 $1,2,\cdots,p-1$
所以有
$r_1r_2\cdots r_{p-1}\equiv(p-1)!\equiv-1\pmod{p}$
$r_1'r_2'\cdots r_{p-1}'\equiv(p-1)!\equiv-1\pmod{p}$
所以有
$r_1r_2\cdots r_{p-1}r_1'r_2'\cdots r_{p-1}'\equiv[(p-1)!]^2\equiv(-1)^2\equiv1\pmod{p}$
与假设矛盾
所以
$r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}'$ 不是模 $p$ 的缩系.

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