美文网首页
习题五

习题五

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-10-16 17:19 被阅读0次

习题五

1

2

3

8

设 p 是奇素数，证明
(i) 1^2\cdot3^2\cdots(p-2)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}
(ii) 2^2\cdot4^2\cdots(p-1)^2\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}.

(i)
Sol:
易知
有 x\equiv(-1)(p-x)\pmod{p}
所以有
\begin{aligned} &1\equiv(-1)(p-1)\pmod{p}\\ &3\equiv(-1)(p-3)\pmod{p}\\ &\cdots\\ &(p-2)\equiv(-1)\cdot2\pmod{p} \end{aligned}
所以
1^2\cdot3^2\cdots(p-2)^2\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}(p-1)!\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot(-1)\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}

(ii)
Sol:
由 (i) 有 x\equiv(-1)(p-x)\pmod{p}
\begin{aligned} &2\equiv(-1)(p-2)\pmod{p}\\ &4\equiv(-1)(p-4)\pmod{p}\\ &\cdots\\ &(p-1)\equiv(-1)\cdot1\pmod{p} \end{aligned}
所以
2^2\cdot4^2\cdots(p-1)^2\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}(p-1)!\equiv(-1)^{\frac{p-1}{2}}\cdot(-1)\equiv(-1)^{\frac{p+1}{2}}\pmod{p}

9

设 p 是素数， r_1,\cdots,r_{p-1} 与 r_1',\cdots,r_{p-1}' 是模 p 的两个缩系，证明：
r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}' 不是模 p 的缩系.

Sol:
反证法
设 r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}' 是模 p 的缩系.
则有 r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}' 模 p 为 1,2,\cdots,p-1
所以有
r_1r_1'\cdots r_{p-1}r_{p-1}'\equiv(p-1)!\equiv-1\pmod{p}
且 r_1,\cdots,r_{p-1} 与 r_1',\cdots,r_{p-1}' 模 p 为 1,2,\cdots,p-1
所以有
r_1r_2\cdots r_{p-1}\equiv(p-1)!\equiv-1\pmod{p}
r_1'r_2'\cdots r_{p-1}'\equiv(p-1)!\equiv-1\pmod{p}
所以有
r_1r_2\cdots r_{p-1}r_1'r_2'\cdots r_{p-1}'\equiv[(p-1)!]^2\equiv(-1)^2\equiv1\pmod{p}
与假设矛盾
所以
r_1r_1',\cdots,r_{p-1}r_{p-1}' 不是模 p 的缩系.

整数与多项式-【目录】

相关文章

网友评论

      本文标题：习题五

      本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/tjmumctx.html

      延伸阅读

      深度阅读

      • 您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

      栏目导航

      热点阅读

      关于我们|服务条款|联系我们|习题五|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

      提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

      Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网 版权所有

      备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

      本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

      所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！