昨日回顾

昨天我们通过两道题目，讲解了二进制与位运算的操作。

偏底层的东西确实略显枯燥，但没办法，这就是面试官们的最爱，只能耐着性子学下去了。

那么今天作为整数的第三天，我们来讲讲关于取模与幂运算的操作吧。

来段前戏

先来一个解惑吧，我们经常在做算法题目的时候，会遇到这么一句话：

答案可能很大，所以返回对 10 ^ 9 + 7 取余 的结果。

10 ^ 9 + 7到底有什么含义呢？答案是....没有含义。what，没有意义为什么导出都在用它？

这里要解释下，一般情况下我们都会在算法时，为了避免溢出，且不用频繁执行取模操作，希望使用一个足够大且为质数的数字进行取模，这样可以减少冲突。

什么冲突？你蒙对答案的冲突...

比如一道题，因为数字可能比较大，需要你返回对2取模的结果。那么答案就只有0和1，你蒙对答案的几率为50%，那还做什么算法！开篇讲一个小知识，来帮助我们快速进入学习状态。

关于取模

关于取模有什么说的呢？大家只需要记住一个公式即可：

(x * y ) % z ==> ((x % z) * (y % z)) % z

既然是公式，肯定就要涉及到证明了，我们如何能保证等式成立呢？来看证明过程：

假设：
x = a * z + b
y = c * z + d
则：
( x * y ) % z
= (( a*z + b) * (c*z + d)) % z 
= ( a*c*z*z + a*z*d + b*c*z + b*d) % z
= a*c*z*z % z + a*z*d % z + b*c*z % z +  b*d % z
= 0 + 0 + 0 + (b*d) % z
b 、d 为x、y本身的取模结果。

知道这个公式，当两个较大的数做乘法时，我们先求余再相乘，可以有效避免溢出。

快速幂

快速幂（Exponentiation by squaring，平方求幂）是一种简单而有效的小算法，它可以O(logn)的时间复杂度计算乘方。快速幂不仅本身非常常见，而且后续很多算法也都会用到快速幂。

关于快速幂的算法面试与日常题目，简直不要太多，一个知识点变着法的考你，但这个知识点很难？真不难...让我们先了解快速幂的实现思想，再来结合知识进一步的刷题吧！

举个例子，日常生活中，我们要计算3的10次方如何算？

Python：

print(3 ** 10)
print(pow(3, 10))

Java :

class Solution {
    public static void main(String[] args) {
//        内置函数
        System.out.println((int)Math.pow(3, 10));
//        循环相乘
        int ret = 1;
        for (int i = 0; i < 10; i++)
            ret *= 3;
        System.out.println(ret);
    }
}

抛开内置函数，我们通过循环来实现x ^ y 的时间复杂度是多少？ O(n)

数量级小的情况下，我们可能看不出太多东西，那换个用例，比如我是夜店小王子，我要求857857的百万次方又该如何操作呢？怕溢出，没关系，上面告诉你取模的方法和常数了，我就是任性要求857857的百万次，来吧展示。

按照上面的循环，我们需要计算 O(n)的时间复杂度，即一百万次。有没有办法优化呢？这里就需要引出我们的快速幂操作了。

快速幂是如何在O(logn)的时间复杂度完成幂的计算呢？这里需要介绍下分治思想，所为分治就是分而治之。

比如我们要计算x的y次方。通常情况我们需要执行y次。但是如果我们将其转化为(x*x) ^ (y/2)就只需要执行一半的时间了，那么如果是()(x*x) * (x*x)) ^ (y/2/2)就只用四分之一的时间了，好家伙我直呼好家伙这不就是O(logn)的方式么。但这里有一个问题，你怎么知道y能一直被二整除呢？如果不能被整除怎么办？举个大家都会举的例子，计算3 ^ 10，第一次转化为了9 ^ 5 但下一次5/2不够除该怎么办？转化为（9^4）*（91），即：

3^10=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3
3^10=(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)
3^10=(3*3)^5
3^10=9^5
9^5=（9^4）*（9^1）
9^5=（9^4）*（9^1）
9^5=（6561^1）*(9^1)

思路理解了，下来就看该如何实现了。

通过上面的分治思想，我们可以很轻易的想到递归的实现方法，来看看吧：

Python:

def quick_pow(x, y):
    if y == 0:
        return 1
    ret = quick_pow(x, y // 2)
    return ret * ret if y % 2 == 0 else ret * ret * x

Java:

public int quickPow(int x, int y) {
    if (y == 0) {
        return 1;
    }
    int ret = quickPow(x, y / 2);
    return y % 2 == 0 ? ret * ret : ret * ret * x;
}

循环快速幂

递归快速取模的算法思想没有问题，但是在递归的过程中，会使用很多额外的栈空间，是否存在一种办法，能通过迭代的循环方式完成，而非递归实现呢？答案当然是有的。我们只需要判断什么时候指数不能被2整除，则单独乘以底数，否则就将当前的数值平方即可。那么如何判断当前的指数是否能被2整除呢？使用y对2取模？不不不，我们来复习一下第一天学到的二进制与操作吧！

思路很简单：当一个数 & 1若为1，即该数的最后一位为1，不能被2整除，否则代表可以被2整数。

10:    00001010
1 :    00000001
按位与  00000000
-----------------
9:     00001001
1:     00000001
按位与  00000001

最终代码为：

Python

def quick_pow(x, y):
    res = 1
    while y:
        if y & 1:
            res *= x
        x *= x
        y = y >> 1
    return res

Java：

public int quickPow(int x, int y) {
    int ret = 1;
    while(y != 0){
        if((y & 1) != 0) {
            ret = ret * x;
        }
        x = x * x;
        y >>= 1;
    }
    return ret;
}

上面的两种方法，着重在于讲解快速幂的实现，但是Java的朋友们会说了，使用int类型不是轻轻松松就内存溢出了....

所以，我们可以看下Java的pow就是使用的double类型。正好，我们来看一道力扣的题目。

50.Pow(x, n)

https://leetcode-cn.com/problems/powx-n/

难度：中等

题目

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，xn）。

示例

示例 1：
输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000

示例 2：
输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100

示例 3：
输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

提示：

• -100.0 < x < 100.0
• -2 ^ 31 <= n <= 2 ^ 31-1
• -10 ^ 4 <= x ^ n <= 10 ^ 4

分析

这道题是对于上面学习的快速幂的检验，基础的知识点，在上面已经讲过了。
在这里，我们分别使用递归与二进制的方式实现。
这里需要注意一点，n为负数时，我们需要对结果取倒数。

递归解题

Python:

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        def quick_pow(N):
            if N == 0:
                return 1.0
            y = quick_pow(N // 2)
            return y * y if N % 2 == 0 else y * y * x

        return quick_pow(n) if n >= 0 else 1.0 / quick_pow(-n)

**Java: **

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        long N = n;
        return N >= 0 ? quickPow(x, N) : 1.0 / quickPow(x, -N);
    }

    public double  quickPow(double  x, long y) {
        if (y == 0) {
            return 1.0;
        }
        double ret = quickPow(x, y / 2);
        return y % 2 == 0 ? ret * ret : ret * ret * x;
    }
}

二进制解题

Python:

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        def quickMul(x, N):
            ans = 1.0
            while N > 0:
                if N % 2 == 1:
                    ans *= x
                x *= x
                N //= 2
            return ans

        return quickMul(x, n) if n >= 0 else 1.0 / quickMul(x, -n)

Java:

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        long N = n;
        return N >= 0 ? quickPow(x, N) : 1.0 / quickPow(x, -N);
    }

    public double quickPow(double x, long y) {
        double ret = 1.0;
        while(y != 0){
            if((y & 1) != 0) {
                ret = ret * x;
            }
            x = x * x;
            y >>= 1;
        }
        return ret;
    }
}

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