在前面，我们对OpenGL中绘图做了简单的介绍，还想继续深入OpenGL的后面的内容，就需要熟悉OpenGL中涉及到的数学知识，因此，本篇文章主要介绍OpenGL中的基本数学。（原博主链接：https://blog.csdn.net/wangdingqiaoit/article/details/51383052 ）
向量的概念
向量是研究2D、3D数学的标准工具。向量V是一个既有大小又有方向的量（联系位移和速度的概念）。在数学上，常用一条有方向的线段来表示向量。例如下图n维空间的向量v=AB→=(v1,v2,...,vn)v=AB→=(v1,v2,...,vn)如下图所示，向量起点为A，终点为B：
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注意：
- 向量的大小就是向量的长度（模），向量的长度是非负的；
- 向量的方向描述了向量的指向；
- 向量是没有位置的，与点是不同的；
- 向量与标量不同，变量是只有大小而没有方向的量，例如位移是向量，而距离是标量；
零向量与单位向量
向量的长度即模，定义为:
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模等于0的向量成为0向量，模等于1的向量叫做单位向量。注意零向量的方向是任意的。
由一个向量v求与它同方向的单位向量过程称为标准化(normalization）,这个单位向量成为标准化向量(normalized vector)。计算过程为:
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三角形法则和平行四边形法则
两个向量a和b，当将b的起点放在a的终点，连接a的起点和b的终点的向量成为向量a,b之和，记为:c=a+b,如下图所示:
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物理上力学求和经常使用平行四边形法则，表达的是向量加法运算的结合律，即:a+b=b+a,如下图所示:
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与一个向量a大小相同，方向相反的向量，称为向量a的负向量，两者相加得到零向量，即:
a+(−a)=0
向量夹角
两个非零向量的夹角规定为不超过π的角度θ，即：0≤θ≤π，如下图所示：
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注意这个夹角的范围。当θ=π/2称两个向量a与b垂直，当θ=0或者π时，称向量a与b平行。
向量点积
向量点积，也称为向量的数量积，点积的结果是一个标量，其定义为: A.B=|A||B|cosθ，其中θ表示向量A和B之间的夹角。
向量点积的几何意义
要理解点积的几何意义，首先了解概念向量在轴上的投影(scalar projection )，这个投影计算得到一个标量。向量A在B上的投影定义为: AB=|A|cosθ。如下图所示：
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则可以写为: A.B=|A|BA=|B|AB。
在空间几何中，例如n空间中，向量的坐标表示为: A=(a1,b2,⋯,cn) ，B=(b1,b2,⋯,bn), 则两个向量的点积可以表示为:
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向量点积的应用
向量点积的一个重要应用在于，可以快速求出两个向量的夹角余弦。
两个向量的夹角余弦计算公式为:
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当a和b都是单位向量时，两单位向量的夹角余弦值为:
cosθ=a.b。
因此，我们能很快的计算出两个单位向量的夹角余弦，在计算光照时经常使用。
另外当一个向量为单位向量时:
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向量的叉积
两个向量a和b的叉积，结果是一个向量c=a×b，c的方向垂直于a和b，它需要根据右手规则来确定，c的大小等于：
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叉积如下图所示：
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注意c的方向需要根据右手规则来确定。所谓右手规则是指，将向量a与b放在同一个起点时，当右手的四个手指从a所指方向转到b所指方向握拳时，大拇指的指向即为a×b的方向。如下图所示：
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尤其要注意 a×b≠b×a，事实上，a×b=−b×a。在利用以坐标形式表示向量a和b时，在3D空间中，叉积的结果用矩阵表示为：
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叉积的几何意义
叉积的模可以视为以a和b为两边的平行四边形的面积，如下图所示：
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其中|b|sinθ可以视为平行四边形的高，计算后a×b的模即为平行四边形的面积。
叉积的应用
在OpenGL图形编程中，叉积经常在已知两个方向时，用来确定第三个方向。例如已知相机的朝向dir和侧向量side，则相机的顶部向量为: up=dir×side，后面再介绍相机矩阵时会用到。
投影向量的计算
一个向量a在另一向量b上的投影向量，包括与b平行的部分a1和与b垂直的部分a2。a1即是之前提到的scalar projection，不过这里a1是一个向量。具体过程如下图所示:
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上图可知与b平行分量a1可计算为:
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垂直分量a2计算为:
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投影向量的应用
投影向量的计算过程，是一个向量分解的过程，这种向量分解的思路在后面推导其他内容时很有帮助，例如求解后面的物体旋转矩阵时会派上用场。
矩阵的概念
矩阵从形式上就是一个数字表，以行和列的形式呈现，简单的矩阵如下图所示:
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矩阵的行数m和列数n可以不相同，m行n列矩阵记为矩阵Am×n。当行数和列数相等时，m= n ,矩阵A也称为n阶方阵。例如下图给出了3x4矩阵A3×4的抽象表示:
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行向量和列向量
对于1xn的矩阵，我们称之为行向量，nx1的矩阵称为列向量。一般可以用列向量表示空间中的向量(以行向量表示也可以)，例如上面的向量a=(ax,by,cz)可以用列向量表示为:
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注意：OpenGL编程中习惯用列向量表示点或者向量。矩阵在内存中以列优先存储，但是具体传递参数时，一般函数提供了是否转置的布尔参数来调整存储格式。例如void glUniformMatrix4fv函数提供了布尔变量 GLboolean transpose 来表示是否转置矩阵。
零矩阵和n阶单位阵
mxn矩阵，如果所有元素都为0，则成为零矩阵。 对于一个n阶方阵，如果主对角线元素全为1，其余元素都为0则称为n阶单位阵。对于一个矩阵Am×n，存在单位阵满足:ImA=AIn=A。 任意矩阵Am×n与对应的零矩阵Bn×p相乘得到零矩阵。
矩阵转置
转置操作即是将矩阵的行和列互换，即原矩阵A的第一行变为转置矩阵AT的第一列，原矩阵A的第二行变为转置矩阵AT的第二列，其他部分依次类推。
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则其转置矩阵为:
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矩阵的运算
矩阵加减法
两个矩阵A和B要能执行加减法，必须是行和列数目相等的，计算过程，即对应的元素相加(Aij+Bij)或者相减(Aij−Bij)，如下图所示:
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标量和矩阵乘法
用一个数k乘以矩阵A，结果为矩阵A中每个元素乘以数k。例如:
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矩阵和矩阵乘法
两个矩阵Am×n和Bn×p要执行乘法操作，需要满足: 左边矩阵的列数和右边矩阵的行数相等，并且结果矩阵为Cm×p。
计算过程如下图所示:
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其中
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,即C中第i行第j列的元素，即为矩阵A的第i行和第j的对应元素相乘后的和。例如:
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注意矩阵乘法不满足交换律，一般而言矩阵乘积AB≠BA（当然存在特殊情况下满足），因此在OpenGL中应用变换矩阵时注意变换应用的顺序。变换的例子后面会介绍。
矩阵和矩阵相乘举例
给定两个矩阵相乘，过程如下图所示：
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熟悉了矩阵相乘后，则上述向量的点积公式可以重新表示为:
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则两个向量的点积可以表示为:
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矩阵不满足交换律举例
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这里AB≠BA，提醒我们注意矩阵相乘时的顺序。
矩阵和向量相乘
矩阵和向量相乘是矩阵和矩阵相乘的特例，给定矩阵A和列向量v，相乘过程如下所示:
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行列式
行列式是n阶方阵的数字构成的数的行列集合，例如2阶方阵A表示为:
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其行列式det(A)表示为:
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3x3矩阵的行列式计算如下:
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关于矩阵行列式计算的更多方法可以参考线性代数教材。
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总结：OpenGL中向量与矩阵的简要介绍大概就这些了，要想了解全部的内容或者更详细的内容，可以参考一下资料：
- 《3D数学基础：图形与游戏开发》清华大学出版社
- 线性代数》武汉大学数学与统计学院 高等教育出版社 齐民友主编
- 《交互式计算机图形学-基于OpenGL着色器的自动向下方法》电子工业出版社 Edward Angle等著
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系列连载
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OpenGL入门（二）-- 快速了解OpenGL下的专业名词
OpenGL入门（三）-- OpenGL坐标系解析与坐标变换
OpenGL入门（四）-- OpenGL坐标系与坐标变换
OpenGL入门（五）-- OpenGL渲染流程图解析
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OpenGL入门（九）-- OpenGL 纹理简单介绍
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