因式分解：（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3 解析

2016年6月10日拍摄于坝上草原丰宁大滩镇闪电河内

题目：（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3

来源：该题目由 Vanessa同学   发表于:2016-06-11 16:09 乐问乐答

说明：咋一看要求缺失，不过根据老师的经验，此题应该是要因式分解而不是多项式展开。

摘要：这类形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3因式分解的题型看上去很难，当年刚开始遇到这类题的时候也不会。好在，当时通过教辅看过类似的例题，看懂之后就明白了这类题的思路以及要考察的知识点和技能点。接下来，程老师将尽量还原当初学生的思维，一点一点引导出解题方法。最后再做个小小的总结和拓展，希望你能掌握此类方法，举一反三。（这是培优的题目，并不要求每个同学都会。但是很多教辅、练习册或考试附加题当中有可能会遇到，会了总比不会好，对吧。）

观察是思维的起点，先观察题型

我们先来观察这个式子有什么特征？
（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3

从“外貌”上看，这个式子前半部分长得不错，如果把最后的-3去掉，那就是“帅哥”了，有了-3就是“屌丝”一枚。相信不只是我，你也能看到以下三点：

1.类似四个连续的自然数相乘的形式；
2.最后再减去了一个数
3.看上去原式差一点就因式分解完了，但是还要让我因式分解/苦恼

然后，就看不出然后了。这三点相信大家都能看到，不过也正是这三点让我们苦恼，该如何下手。

不会做，能不能先试试？

我们做过这样的题目，设最小的一个自然数是a，那么连续的四个自然数就可以表示成a，a+1，a+2，a+3。
假设a=0，那么（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=1*2*3*4-3=24-3=3（8-1）=3*7
假设a=1，那么（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=2*3*4*5-3=120-3=3（40-1）=3*39
假设a=2，那么（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=3*4*5*6-3=360-3=3（120-1）=3*119
......

好像有什么规律？
为了更好的发现规律，通常我们会写成列表的形式：
a=0→3*7
a=1→3*39=9*13
a=2→3*119=17*21
根据前三个，你预测一下
a=3→ 不知道/囧

我只知道，分解之后的两个因数之间差4（7-3=4，13-9=4，21-17=4）
我还知道，此题是可以因式分解的，只是我不知道怎么用含字母a的式子表示出来。

学弱止步！建议前往【常规方法】学习。
学霸请继续：
a=0→3*7=（0+3）（0+7）
a=1→3*39=9*13=（6+3）（6+7）=（1+5+3）（1+5+7）=（1²+5*1+3）（1²+5*1+7）
a=2→3*119=17*21=（14+3）（14+7）=（4+10+3）（4+10+7）=（2²+5*2+3）（2²+5*2+7）
（关于如何快速的找规律，以后会专题解析）
根据前三个，你预测一下
a=3→（3²+5*3+3）（3²+5*3+7）

根据这个，可以猜想出因式分解的结果
（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3=（a²+5a+3）（a²+5a+7）
根据十字相乘法的规则，每个因式不能在实数范围内因式分解了，分解完毕。

写过程，常规方法怎么做？

（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3
我们尝试了代入数值找规律猜想的思路。接下来我们决定从代数式的特征上思考。

回顾一下这个代数式（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab，有印象吧（是很熟悉），这是十字相乘法的基本公式。接下来我们就是要用这个式子展开这个多项式。

第一步：先分组展开

（a+1）（a+4）=a²+5a+4
（a+2）（a+3）=a²+5a+6

为什么这么分组呢？因为展开之后都有a²+5a，二次项系数和一次项系数都相同。

第二步：换元法+十字相乘法

接下来我们为了书写方便，设a²+5a=x（换元）
原式=（a²+5a+4）（a²+5a+6）-3
=（x+4）（x+6）-3 …设a²+5a=x
=x²+10x+24-3         …继续展开
=x²+10x+21            …合并常数项
=（x+3）（x+7）    …十字相乘法因式分解
=（a²+5a+3）（a²+5a+7）…换回来x=a²+5a

结果都是因式乘积的形式，每个因式不能再因式分解，分解完毕。

我们能总结哪些经验？

1. 对形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3的多项式因式分解是可以的；（认为不可以，那是因为你不会）
2. 对形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3的多项式因式分解是有方法的；（完全展开再分解，难度很大，所以要找方法）
3. 对形如（a+1)(a+2)(a+3)(a+4)-3的多项式因式分解至少有两种方法；（还有其它方法，再探索）
4. 基本思路是先展开，再合并，中间用到了换元法和十字相乘法。

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不要光看了，动手试试，你真能做出来吗？
哪题不会，下面留言，有机会老师专题解析。

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