自相关与卷积

“自相关”这种数据处理方法，可以发现隐藏在杂乱信号中的有用信息。这个能力是相当重要的，因为工程实际中的信号，不可避免地要受到各种干扰，严重的时候会完全淹没真正有用的数据。自相关能找出重复信息（被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频，它常用于时域信号的分析。

用数学的语言表述，则是：自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系。

数学上是这样定义的：

这个公式中，τ是进行“比较”时移动的“步距”。而整个公式的意思是“将x(t)进行时移，得到x(t+τ)，然后将其与x(t)在整个范围内逐点进行相乘，得到一条新曲线，这条曲线下方所围成的面积就是一个R值。改变τ的取值，再来一次，……，如此不断重复，R的一系列值将成为R(τ)曲线，这就是自相关曲线”。

自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。

如果能明确地看出原始数据有周期性，那么就不必在整个数轴范围（-∞~+∞）内进行移动比较了，只需要移动一个周期（T）即可：

明白了自相关，互相关也就好懂了。其实，大多数教材都是先讲互相关的。因为，所谓相关性，从字面的意思就是指两组数据，把它们相互比较，看看有没有关联。自相关是自己和自己比，互相关呢，自然就是两个不同信号之间相互比：

基本定义介绍完了，我们来看看，自相关函数有什么特点。

假设有一个余弦信号： x(t)=Acos(ω∗t+θ)

它的自相关函数是什么呢？根据定义，有：

可以看到，自相关函数仍为余弦，且频率不变。如果信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，同样可以证明，余弦信号的自相关函数还是是一个余弦函数。它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。

自相关函数具有如下主要性质：

(1). 自相关函数为偶函数， Rxx(τ)=Rxx(−τ) ，其图形对称于纵轴。因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变；

(2). 当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值；

(3). 周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号；

(4). 若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，自相关函数趋于信号平均值的平方。

随机信号的自相关是Sinc函数

典型应用：

(1). 检测信号回声（反射）。若在宽带信号中存在着带时间延迟τ0的回声，那么该信号的自相关函数将在τ=τ0处也达到峰值（另一峰值在τ=0处），这样可根据τ0确定反射体的位置。

(2). 检测淹没在随机噪声中的周期信号。由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。

另外，相关函数的计算与卷积的计算有点关系。

从定义式中可以看到，互相关函数和卷积运算类似，也是两个序列滑动相乘，但是区别在于：互相关的两个序列都不翻转，直接滑动相乘，求和；卷积的其中一个序列需要先翻转，然后滑动相乘，求和。所以，x(t)和y(t)做相关等于x(t)与y(-t)做卷积。