0、什么是环？
在图论中，环（英语：cycle）是一条只有第一个和最后一个顶点重复的非空路径。
在有向图中，一个结点经过两种路线到达另一个结点，未必形成环。
1、拓扑排序
1.1、无向图
使用拓扑排序可以判断一个无向图中是否存在环，具体步骤如下：
- 求出图中所有结点的度。
- 将所有度 <= 1 的结点入队。（独立结点的度为 0）
- 当队列不空时，弹出队首元素，把与队首元素相邻节点的度减一。如果相邻节点的度变为一，则将相邻结点入队。
- 循环结束时判断已经访问的结点数是否等于 n。等于 n 说明全部结点都被访问过，无环；反之，则有环。
1.2、有向图
使用拓扑排序判断无向图和有向图中是否存在环的区别在于：
- 在判断无向图中是否存在环时，求的是结点的度；
- 在判断有向图中是否存在环时，求的是结点的入度。
2、DFS
使用 DFS 可以判断一个无向图和有向中是否存在环。深度优先遍历图，如果在遍历的过程中，发现某个结点有一条边指向已访问过的结点，并且这个已访问过的结点不是上一步访问的结点，则表示存在环。
我们不能仅仅使用一个 bool 数组来表示结点是否访问过。规定每个结点都拥有三种状态，白、灰、黑。开始时所有结点都是白色，当访问过某个结点后，该结点变为灰色，当该结点的所有邻接点都访问完，该节点变为黑色。
那么我们的算法可以表示为：如果在遍历的过程中，发现某个结点有一条边指向灰色节点，并且这个灰色结点不是上一步访问的结点，那么存在环。
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
vector<vector<int>> g;
vector<int> color;
int last;
bool hasCycle;
bool topo_sort() {
int n = g.size();
vector<int> degree(n, 0);
queue<int> q;
for (int i = 0; i < n; i++) {
degree[i] = g[i].size();
if (degree[i] <= 1) {
q.push(i);
}
}
int cnt = 0;
while (!q.empty()) {
cnt++;
int root = q.front();
q.pop();
for (auto child : g[root]) {
degree[child]--;
if (degree[child] == 1) {
q.push(child);
}
}
}
return (cnt != n);
}
void dfs(int root) {
color[root] = 1;
for (auto child : g[root]) {
if (color[child] == 1 && child != last) {
hasCycle = true;
break;
}
else if (color[child] == 0) {
last = root;
dfs(child);
}
}
color[root] = 2;
}
int main() {
int n = 4;
g = vector<vector<int>>(n, vector<int>());
g[0].push_back(1);
g[1].push_back(0);
g[1].push_back(2);
g[2].push_back(1);
g[2].push_back(3);
g[3].push_back(2);
cout << topo_sort() << endl; //0，无环
color = vector<int>(n, 0);
last = -1;
hasCycle = false;
dfs(0);
cout << hasCycle << endl; //0，无环
g[0].push_back(3);
g[3].push_back(0);
cout << topo_sort() << endl; //1，有环
color = vector<int>(n, 0);
last = -1;
hasCycle = false;
dfs(0);
cout << hasCycle << endl; //1，有环
return 0;
}
3、Union-Find Set
我们可以使用并查集来判断一个图中是否存在环：
对于无向图来说，在遍历边（u-v）时，如果结点 u 和结点 v 的“父亲”相同，那么结点 u 和结点 v 在同一个环中。
对于有向图来说，在遍历边（u->v）时，如果结点 u 的“父亲”是结点 v，那么结点 u 和结点 v 在同一个环中。
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
vector<pair<int, int>> g;
vector<int> father;
int findFather(int x) {
int a = x;
while (x != father[x]) {
x = father[x];
}
while (a != father[a]) {
int z = a;
a = father[a];
father[z] = x;
}
return x;
}
void Union(int a, int b) {
int fa = findFather(a);
int fb = findFather(b);
father[a] = father[b] = min(fa, fb);
}
bool isCyclicUnirectedGraph() {
for (int i = 0; i < g.size(); i++) {
int u = g[i].first;
int v = g[i].second;
if (father[u] == father[v]) {
return true;
}
Union(u, v);
}
return false;
}
bool isCyclicDirectedGraph() {
for (int i = 0; i < g.size(); i++) {
int u = g[i].first;
int v = g[i].second;
if (father[u] == v) {
return true;
}
father[v] = findFather(u);
}
return false;
}
int main() {
// Undirected acyclic graph
// 0
// / \
// 1 2
g.push_back(make_pair(0, 1));
g.push_back(make_pair(0, 2));
for (int i = 0; i < 3; i++) {
father.push_back(i);
}
cout << isCyclicUnirectedGraph() << endl; //0，无环
// Undirected cyclic graph
// 0
// / \
// 1———2
g.push_back(make_pair(1, 2));
vector<int>().swap(father);
for (int i = 0; i < 3; i++) {
father.push_back(i);
}
cout << isCyclicUnirectedGraph() << endl; //1，有环
// Directed acyclic graph
// 0
// / \
// v v
// 1——>2
vector<pair<int, int>>().swap(g);
g.push_back(make_pair(0, 1));
g.push_back(make_pair(1, 2));
g.push_back(make_pair(0, 2));
vector<int>().swap(father);
for (int i = 0; i < 3; i++) {
father.push_back(i);
}
cout << isCyclicDirectedGraph() << endl; //0，无环
// Directed cyclic graph
// 0
// / ^
// v \
// 1——>2
g.pop_back();
g.push_back(make_pair(2, 0));
vector<int>().swap(father);
for (int i = 0; i < 3; i++) {
father.push_back(i);
}
cout << isCyclicDirectedGraph() << endl; //1，有环
return 0;
}
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