Week 4-1

determinant 行列式

３× 3 矩阵

N × N 矩阵

Laplace expansion, 简单不叙述

Leibniz Formula （Big Formula）

每一项的元素 都是来自unique rows 和 unique columns，总共有 N！项。

the number of flips ： 逆序数 ，the time of permutations needed to get the right sequence （even or odd）

Property 1. 

Property 2. Determinant change sign under row interchange

Property 3. Determinant is a linear function of the first row

使用上面的三个基础定理可以推导出，

1. Det 是所有行的线性函数；

2. 两行相等时，Det 为0；（change 行会导致符号改变，但是相同的行置换后不改变，证明Det是0）

3. 一行为0，行列式为0；

4. Det为0，invertible；

5. Ax=b没有特解；

6. Det D、 Det L、 Det U 等于对角线上元素的乘积

7. Det(AB) = Det(A) * Det(B)  Det(A+B) ~= Det(A) + Det(B)

8. 

9. Row Reduction 不会改变 Determinant