分析力学基本原理介绍4.2：变分法的简单应用

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2019-12-14 10:38 被阅读0次

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通过前篇内容我们对变分原理有了一定了解，并利用变分法得到了能使形如

$J = \int_{x_1}^{x_2}f(y,\dot{y},x)\;dx$

的泛函取得驻值的条件：

$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{y}}\right) = 0$

接下来，我打算展示一些关于这个方程的简单应用。

需要注意的是，由于习惯，我们通常将函数 $y$ 视为因变量， $x$ 为自变量，所以我为了保持一致，将上面积分中的 $x$ 考虑成了单向的，但这个习惯与大部分问题中的变量 $x$ 和 $y$ 充当的角色刚好相反（ $y$ 通常才是单向的，并非 $x$ ），导致有的问题可以使用原来的表示习惯得到正确答案，有的却不能。所以在下面的例子中，我会变换着使用二者。

1.平面内两点间的最短距离：

对，这个方程可被用来证明平面内两点之间的最短距离——一个小学生都知道的结论——直线。

平面内连接了任意两点 $1$ ， $2$ 的曲线长度可以用积分表示为：

$I = \int_1^2ds$

若曲线表达式采用 $y = y(x)$ ，则 $\dot{y} = \frac{dy}{dx}$

在笛卡尔平面内，长度微分元 $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{dx^2 + \left(\frac{dy}{dx}dx\right)^2} = \sqrt{1+ \dot{y}^2}dx$

代入积分中：

$I = \int_1^2\sqrt{1+ \dot{y}^2}dx$

我们发现，该积分正好具有之前所讨论的泛函的形式。所以对应地，

$f = \sqrt{1+ \dot{y}^2}$

于是

$\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial y} &= 0, & \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} = \frac{\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}\end{align*}$ ，

代入之前得到的方程我们可以发现：

$\frac{d}{dx}\left( \frac{\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}\right) = 0 \implies \frac{\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}} = c$

其中 $c$ 是一个常数。

解 $\dot{y}$ 得：

$\dot{y} = \frac{c}{\sqrt{1 - c^2}}$

等式右边均是常数，不妨令其整体为 $a$ ，则

$\dot{y} = a \implies \boxed{y(x) = ax + b}$

这正是直线方程的表达式。

其中常数 $a$ ， $b$ 可通过代入端点值 $(x_1,y_1)$ ， $(x_2,y_2)$ 求解。

顺带一提，利用上面的方法，我们不仅证明了该直线方程能使泛函取得极值，而且是极小值。

2.最小回转曲面：

我们把空间中连接了两定点的任意曲线环绕转轴（比如 $y$ 轴） $2\pi$ 弧度形成的曲面叫做回转曲面(surface of revolution)或者旋转曲面。

同样地，使用开头给出的方程我们也可以得到空间中两点间一条使得回转曲面面积最小的曲线。

考虑转轴为 $y$ 轴，曲线 $y = y(x)$ 经过了点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 。

使用极坐标，若曲线形成的回转曲面上任意一点距 $y$ 轴的距离为 $x$ ，转动微小角度 $d\theta$ 后形成的环带面积为： $dA = x\;d\theta\;ds$ ，其中 $ds$ 是之前的长度微分元（这个例子比较特殊，使用 $x = x(y)$ 在最后也可以得到同样的结果，不信你自己试）。

则：

$A = \iint x\;d\theta\;ds = \int_{\theta = 0}^{2\pi}d\theta\int_{x = x_1}^{x_2}x\sqrt{1+ \dot{y}^2}dx = 2\pi\int_{x = x_1}^{x_2}x\sqrt{1+ \dot{y}^2}dx$

对比之前的泛函可得：

$f = x\sqrt{1+ \dot{y}^2}$

于是

$\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial y} &= 0, & \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} = \frac{x\dot{y}}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}\end{align*}$

代入方程得到：

$\frac{d}{dx}\left(\frac{x\dot{y}}{\sqrt{1+ \dot{y}^2}}\right) = 0 \implies \frac{x\dot{y}}{\sqrt{1+ \dot{y}^2}} = a$ ，其中 $a$ 是一个常数。

简单的代数操作后可以得到微分方程：

$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

或者，拆分变量后：

$y = \int \frac{a}{\sqrt{x^2 - a^2}}\;dx +b$ ，其中 $b$ 是第二个常数。

这是一个分母含根号的基本积分，结果是可以用初等函数表示的。大部分同类型积分都可以考虑配完全平方或者使用三角、双曲换元的方法来计算。

将常数 $a$ 从根号中提取出来，

$y = \int \frac{1}{\sqrt{(x/a)^2 - 1}}\;dx +b$

利用关系 $\cosh^2\xi = 1 + \sinh^2\xi$ ，可使用双曲余弦函数换元： $\cosh\xi = \frac{x}{a}$ ， $dx = a\sinh\xi\;d\xi$

得到：

$y = a\cosh^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + b$

或者写成

$\boxed{x = a\cosh\frac{y-b}{a}}$

这是悬链线(catenary)方程，常数 $a$ ， $b$ 可通过代入端点坐标解得。

顺带一提，任何满足之前方程的曲线都是按 $\frac{x}{a}$ 和 $\frac{y}{a}$ 的倍数变化，独立变量 $\frac{a}{b}$ 也暗示了经过同样的两定点可以存在一条甚至多条悬链线，在特殊情况下也许一条也会不存在。更为复杂的情形就需要再考虑函数 $f$ 的连续性以及一二阶导函数的存在情况，毕竟这些是限制满足之间方程的解的条件。

3.最速落径

最速落径(The brachistochrone)，又被称为捷线。

我把它放在最后就是想强调一下它的地位——就是那种“the last but not the least”的地位。嗯，它很有名，曾经被一位叫做“不努力”的数学家分析过，属于变分法的开创性问题，基本也属于那种每个学过高物或者高数的人章口就莱的陈词滥调。

至于为什么叫“不努力”，呸，至于为什么叫“The brachistochrone”，其实该词源于古希腊语“ $\beta\rho\acute{\alpha}\chi\iota\sigma\tau\omicron\varsigma\; \chi\rho\acute{\omicron}\nu\omicron\varsigma$ ”，意思是“最短的时间”，为什么是“最短”的“时间”？不应该是“最速”的“落径”吗？希腊语的命名其实是很准确的——至少在我看来——因为它忠于题设：

寻找一条连接两个定点的曲线，使得一个只受重力影响的微粒，沿该曲线从较高点抵达较低点所用的时间最短。

与前面两题做法相似，我们首先要找到那个对应的函数 $f$ 。

既然要使时间最短，我们的优化对象肯定就是一个表示时间的泛函了：

$t_{1\rightarrow2} = \int_1^2dt$

微粒的速度为:

$v = \frac{ds}{dt}$

微分元 $dt$ 可以表示成：

$dt = \frac{ds}{v}$

所以

$t_{1\rightarrow2} = \int_1^2\frac{ds}{v}$

$ds$ 同样是之前的长度微分元，但这次我将使用 $x = x(y)$ :

$ds = \sqrt{1+ \dot{x}^2}\;dy$ 。

至于微粒的速度，一个如此简单的系统，用初中的知识足以解决。

使用牛顿定律或者能量守恒定律随便搞两下就可以得到：

$v = \sqrt{2gy}$ ，其中 $g$ 是重力加速度。

代入积分，

$t_{1\rightarrow2} = \frac{1}{\sqrt{2g}}\int_1^2\sqrt{\frac{1+ \dot{x}^2}{y}}\;dy$

对比本篇最上方的积分，

$f = \sqrt{\frac{1+ \dot{x}^2}{y}}$

于是

$\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial x} &= 0, & \frac{\partial y}{\partial \dot{x}} &= \frac{\dot{x}}{\sqrt{y(1+\dot{x}^2)}}\end{align*}$

代入方程，

$\frac{d}{dy}\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x}}\right) = 0 \implies \frac{\dot{x}}{\sqrt{y(1+\dot{x}^2)}} = b$

$\Leftrightarrow \dot{x} = \sqrt{\frac{b^2y}{1 - b^2y}}$

我们需要计算积分：

$x = b\int\sqrt{\frac{y}{1 - b^2y}}dy$

对于这类积分，我们考虑使用三角函数的换元。

令 $\sin^2\phi = b^2y$ ，则 $dy = \frac{2}{b^2}\sin\phi\cos\phi\;d\phi$

于是可以得到：

$x = \frac{2}{b^2}\int\sin^2\phi\;d\phi = \frac{2}{b^2}\int\frac{1 - \cos 2\phi}{2}\;d\phi$

$x = \frac{1}{b^2}\left(\phi - \frac{1}{2}\sin 2\phi\right) + c$

为了让结果更简洁，可选择将 $b$ 替换为 $\sqrt{\frac{1}{2a}}$ ；将 $\phi$ 替换为 $\frac{\xi}{2}$ ：

$x = a(\xi - \sin\xi) + c$ ，其中 $a$ 和 $c$ 均为常数。

同时，

$y = 2a\sin^2(\xi/2) = 2a\left(\frac{1 - \cos\xi}{2}\right) = a(1 - \cos\xi)$

最后我们得到的是一组含 $\xi$ 的参数方程：

$\begin{cases}x(\xi) = a(\xi - \sin\xi)\\ y(\xi) = a(1 - \cos\xi)\end{cases}$

曲线 $\mathbf{r}(\xi) = \mathbf{r}(x(\xi),y(\xi))$ 是最速落径，是属于摆线(cycloid)的一种。可以被形象地理解成是由一块粘在行进的自行车车胎上的泡泡糖形成的运动轨迹。

更多关于摆线的分析可自行查阅。

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