线性代数基础

作者: 越狱_29c6 | 来源:发表于2019-12-01 12:54 被阅读0次

<h1><a id="_1"></a>线性代数</h1>
<h2><a id="_3"></a>一、基本知识</h2>
<ol>
<li>本书中所有的向量都是列向量的形式：</li>
</ol>
 $ \mathbf{\vec x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T=\begin{bmatrix}x_1\x_2\\ \vdots \x_n\end{bmatrix} $ 
本书中所有的矩阵 $\mathbf X\in \mathbb R^{m\times n}$ 都表示为：
 $ \mathbf X = \begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n}\ x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,n}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ x_{m,1} & x_{m,2} & \cdots & x_{m,n}\ \end{bmatrix} $ 
简写为： $(x_{i,j}){m\times n}$ 或者 $[x{i,j}]_{m\times n}$ 。
<ol start="2">
<li>矩阵的<code>F</code>范数：设矩阵 $\mathbf A=(a_{i,j}){m\times n}$ ，则其<code>F</code> 范数为： $||\mathbf A||F=\sqrt{\sum{i,j}a{i,j}^{2}}$ 。</li>
</ol>
它是向量的 $L_2$ 范数的推广。
<ol start="3">
<li>矩阵的迹：设矩阵 $\mathbf A=(a_{i,j}){m\times n}$ ，则 $\mathbf A$ 的迹为： $tr(\mathbf A)=\sum{i}a_{i,i}$ 。</li>
</ol>
迹的性质有：
<ul>
<li> $\mathbf A$ 的<code>F</code> 范数等于 $\mathbf A\mathbf A^T$ 的迹的平方根：</li>
</ul>
 $||\mathbf A||_F=\sqrt{tr(\mathbf A \mathbf A^{T})}$ 
<ul>
<li> $\mathbf A$ 的迹等于 $\mathbf A^T$ 的迹：</li>
</ul>
 $tr(\mathbf A)=tr(\mathbf A^{T})$ 
<ul>
<li>交换律：假设</li>
</ul>
 $\mathbf A\in \mathbb R^{m\times n},\mathbf B\in \mathbb R^{n\times m}$ 
，则有： $tr(\mathbf A\mathbf B)=tr(\mathbf B\mathbf A)$ 。
<ul>
<li>结合律：</li>
</ul>
 $tr(\mathbf A\mathbf B\mathbf C)=tr(\mathbf C\mathbf A\mathbf B)=tr(\mathbf B\mathbf C\mathbf A)$ 
<h2><a id="_55"></a>二、向量操作</h2>
<ol>
<li>一组向量 $\mathbf{\vec v}_1,\mathbf{\vec v}_2,\cdots,\mathbf{\vec v}_n$ 是线性相关的：指存在一组不全为零的实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ，使得：</li>
</ol>
 $\sum_{i=1}^{n}a_i\mathbf{\vec v}_i=\mathbf{\vec 0}$ 
一组向量 $\mathbf{\vec v}_1,\mathbf{\vec v}_2,\cdots,\mathbf{\vec v}_n$ 是线性无关的，当且仅当 $a_i=0,i=1,2,\cdots,n$ 时，才有：
 $\sum_{i=1}^{n}a_i\mathbf{\vec v}_i=\mathbf{\vec 0}$ 
<ol start="2">
<li>
一个向量空间所包含的最大线性无关向量的数目，称作该向量空间的维数。
</li>
<li>
三维向量的点积：
</li>
</ol>
 $\mathbf{\vec u}\cdot\mathbf{\vec v} =u _xv_x+u_yv_y+u_zv_z = |\mathbf{\vec u}| | \mathbf{\vec v}| \cos(\mathbf{\vec u},\mathbf{\vec v})$ 
<ol start="4">
<li>三维向量的叉积：</li>
</ol>
 $ \mathbf{\vec w}=\mathbf{\vec u}\times \mathbf{\vec v}= \begin{bmatrix} \mathbf{\vec i} & \mathbf{\vec j} & \mathbf{\vec k}\ u_x & u_y & u_z\ v_x & v_y & v_z\ \end{bmatrix}$ 
其中 $\mathbf{\vec i}, \mathbf{\vec j},\mathbf{\vec k}$ 分别为 $x,y,z$ 轴的单位向量。
 $\mathbf{\vec u}=u_x\mathbf{\vec i}+u_y\mathbf{\vec j}+u_z\mathbf{\vec k},\quad \mathbf{\vec v}=v_x\mathbf{\vec i}+v_y\mathbf{\vec j}+v_z\mathbf{\vec k}$ 
<ul>
<li> $\mathbf{\vec u}$ 和 $\mathbf{\vec v}$ 的叉积垂直于 $\mathbf{\vec u},\mathbf{\vec v}$ 构成的平面，其方向符合右手规则。</li>
<li>叉积的模等于 $\mathbf{\vec u},\mathbf{\vec v}$ 构成的平行四边形的面积</li>
</ul>
 $\mathbf{\vec u}\times \mathbf{\vec v}=-\mathbf{\vec v}\times \mathbf{\vec u}$ 
 $\mathbf{\vec u}\times( \mathbf{\vec v} \times \mathbf{\vec w})=(\mathbf{\vec u}\cdot \mathbf{\vec w})\mathbf{\vec v}-(\mathbf{\vec u}\cdot \mathbf{\vec v})\mathbf{\vec w}$ 
<ol start="5">
<li>三维向量的混合积：</li>
</ol>
 $[\mathbf{\vec u} ;\mathbf{\vec v} ;\mathbf{\vec w}]=(\mathbf{\vec u}\times \mathbf{\vec v})\cdot \mathbf{\vec w}= \mathbf{\vec u}\cdot (\mathbf{\vec v} \times \mathbf{\vec w})\ =\begin{vmatrix} u_x & u_y & u_z\ v_x & v_y & v_z\ w_x & w_y & w_z \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} u_x & v_x & w_x\ u_y & v_y & w_y\ u_z & v_z & w_z \end{vmatrix} $ 
其物理意义为：以 $\mathbf{\vec u} ,\mathbf{\vec v} ,\mathbf{\vec w}$

为三个棱边所围成的平行六面体的体积。当 $\mathbf{\vec u} ,\mathbf{\vec v} ,\mathbf{\vec w}$

构成右手系时，该平行六面体的体积为正号。
<ol start="6">
<li>两个向量的并矢：给定两个向量

$\mathbf {\vec x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{T}, \mathbf {\vec y}= (y_1,y_2,\cdots,y_m)^{T}$ </li>
</ol>
，则向量的并矢记作：
 $\mathbf {\vec x}\mathbf {\vec y} =\begin{bmatrix} x_1y_1 & x_1y_2 & \cdots & x_1y_m\ x_2y_1 & x_2y_2 & \cdots & x_2y_m\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ x_ny_1 & x_ny_2 &\cdots & x_ny_m\ \end{bmatrix} $ 
也记作 $\mathbf {\vec x}\otimes\mathbf {\vec y}$ 或者 $\mathbf {\vec x} \mathbf {\vec y}^{T}$ 。
<h2><a id="_145"></a>三、矩阵运算</h2>
<ol>
<li>给定两个矩阵

$\mathbf A=(a_{i,j}) \in \mathbb R^{m\times n},\mathbf B=(b_{i,j}) \in \mathbb R^{m\times n}$ </li>
</ol>
，定义：
<ul>
<li>阿达马积 $Hadamard product$ （又称作逐元素积）：</li>
</ul>
 $\mathbf A \circ \mathbf B =\begin{bmatrix} a_{1,1}b_{1,1} & a_{1,2}b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}b_{1,n}\ a_{2,1}b_{2,1} & a_{2,2}b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}b_{2,n}\ \vdots$&$\vdots & \ddots & \vdots\ a_{m,1}b_{m,1} & a_{m,2}b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}b_{m,n} \end{bmatrix} $ 
<ul>
<li>克罗内积 $Kronnecker product$ ：</li>
</ul>
 $ \mathbf A \otimes \mathbf B =\begin{bmatrix} a_{1,1}\mathbf B & a_{1,2}\mathbf B & \cdots & a_{1,n}\mathbf B\ a_{2,1}\mathbf B & a_{2,2}\mathbf B & \cdots & a_{2,n}\mathbf B\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ a_{m,1}\mathbf B & a_{m,2}\mathbf B & \cdots & a_{m,n}\mathbf B \end{bmatrix} $ 
<ol start="2">
<li>设

$\mathbf {\vec x},\mathbf {\vec a},\mathbf {\vec b},\mathbf {\vec c}$ </li>
</ol>
为 n 阶向量， $\mathbf A,\mathbf B,\mathbf C,\mathbf X$ 为 n 阶方阵，则有：
 $\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf {\vec x}) }{\partial \mathbf {\vec x} }=\frac{\partial(\mathbf {\vec x}^{T}\mathbf {\vec a}) }{\partial \mathbf {\vec x} } =\mathbf {\vec a}$ 
 $\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf X\mathbf {\vec b}) }{\partial \mathbf X }=\mathbf {\vec a}\mathbf {\vec b}^{T}=\mathbf {\vec a}\otimes\mathbf {\vec b}\in \mathbb R^{n\times n}$ 
 $\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf X^{T}\mathbf {\vec b}) }{\partial \mathbf X }=\mathbf {\vec b}\mathbf {\vec a}^{T}=\mathbf {\vec b}\otimes\mathbf {\vec a}\in \mathbb R^{n\times n}$ 
 $\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf X\mathbf {\vec a}) }{\partial \mathbf X }=\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf X^{T}\mathbf {\vec a}) }{\partial \mathbf X }=\mathbf {\vec a}\otimes\mathbf {\vec a}$ 
 $\frac{\partial(\mathbf {\vec a}^{T}\mathbf X^{T}\mathbf X\mathbf {\vec b}) }{\partial \mathbf X }=\mathbf X(\mathbf {\vec a}\otimes\mathbf {\vec b}+\mathbf {\vec b}\otimes\mathbf {\vec a})$ 
 $\frac{\partial[(\mathbf A\mathbf {\vec x}+\mathbf {\vec a})^{T}\mathbf C(\mathbf B\mathbf {\vec x}+\mathbf {\vec b})]}{\partial \mathbf {\vec x}}=\mathbf A^{T}\mathbf C(\mathbf B\mathbf {\vec x}+\mathbf {\vec b})+\mathbf B^{T}\mathbf C(\mathbf A\mathbf {\vec x}+\mathbf {\vec a})$ 
 $\frac{\partial (\mathbf {\vec x}^{T}\mathbf A \mathbf {\vec x})}{\partial \mathbf {\vec x}}=(\mathbf A+\mathbf A^{T})\mathbf {\vec x}$ 
 $\frac{\partial[(\mathbf X\mathbf {\vec b}+\mathbf {\vec c})^{T}\mathbf A(\mathbf X\mathbf {\vec b}+\mathbf {\vec c})]}{\partial \mathbf X}=(\mathbf A+\mathbf A^{T})(\mathbf X\mathbf {\vec b}+\mathbf {\vec c})\mathbf {\vec b}^{T}$ 
 $\frac{\partial (\mathbf {\vec b}^{T}\mathbf X^{T}\mathbf A \mathbf X\mathbf {\vec c})}{\partial \mathbf X}=\mathbf A^{T}\mathbf X\mathbf {\vec b}\mathbf {\vec c}^{T}+\mathbf A\mathbf X\mathbf {\vec c}\mathbf {\vec b}^{T}$ 
<ol start="3">
<li>如果 f 是一元函数，则：</li>
</ol>
<pre><code>* 其逐元向量函数为：
</code></pre>
 $f(\mathbf{\vec x}) =(f(x_1),f(x_2),\cdots,f(x_n))^{T}$ 
<ul>
<li>其逐矩阵函数为：</li>
</ul>
 $f(\mathbf X)=\begin{bmatrix} f(x_{1,1}) & f(x_{1,2}) & \cdots & f(x_{1,n})\ f(x_{2,1}) & f(x_{2,2}) & \cdots & f(x_{2,n})\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ f(x_{m,1}) & f(x_{m,2}) & \cdots & f(x_{m,n})\ \end{bmatrix} $ 
<ul>
<li>其逐元导数分别为：</li>
</ul>
 $f^{\prime}(\mathbf{\vec x})=(f{\prime}(x1),f{\prime}(x2),\cdots,f{\prime}(x_n)){T}$ 
 $f^{\prime}(\mathbf X)=\begin{bmatrix} f^{\prime}(x_{1,1}) & f^{\prime}(x_{1,2}) & \cdots & f^{\prime}(x_{1,n})\ f^{\prime}(x_{2,1}) & f^{\prime}(x_{2,2}) & \cdots & f^{\prime}(x_{2,n})\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ f^{\prime}(x_{m,1}) & f^{\prime}(x_{m,2}) & \cdots & f^{\prime}(x_{m,n})\ \end{bmatrix}$ 
<ol start="4">
<li>各种类型的偏导数：</li>
</ol>
<ul>
<li>
标量对标量的偏导数： $\frac{\partial u}{\partial v}$ 。
</li>
<li>
标量对向量（n 维向量）的偏导数：
</li>
</ul>
 $\frac{\partial u}{\partial \mathbf {\vec v}}=(\frac{\partial u}{\partial v_1},\frac{\partial u}{\partial v_2},\cdots,\frac{\partial u}{\partial v_n})^{T}$ 
<ul>
<li>标量对矩阵( $m\times n$ 阶矩阵)的偏导数：</li>
</ul>
 $ \frac{\partial u}{\partial \mathbf V}=\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial V_{1,1}} & \frac{\partial u}{\partial V_{1,2}} & \cdots & \frac{\partial u}{\partial V_{1,n}}\ \frac{\partial u}{\partial V_{2,1}} & \frac{\partial u}{\partial V_{2,2}} & \cdots & \frac{\partial u}{\partial V_{2,n}}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ \frac{\partial u}{\partial V_{m,1}} & \frac{\partial u}{\partial V_{m,2}} & \cdots & \frac{\partial u}{\partial V_{m,n}} \end{bmatrix} $ 
<ul>
<li>向量（m 维向量）对标量的偏导数：

$\frac{\partial \mathbf {\vec u}}{\partial v}=(\frac{\partial u_1}{\partial v},\frac{\partial u_2}{\partial v},\cdots,\frac{\partial u_m}{\partial v})^{T}$ </li>
</ul>
。
<ul>
<li>向量（m 维向量）对向量 (n 维向量) 的偏导数（雅可比矩阵，行优先）</li>
</ul>
 $\frac{\partial \mathbf {\vec u}}{\partial \mathbf {\vec v}}=\begin{bmatrix} \frac{\partial u_1}{\partial v_1} & \frac{\partial u_1}{\partial v_2} & \cdots & \frac{\partial u_1}{\partial v_n}\ \frac{\partial u_2}{\partial v_1} & \frac{\partial u_2}{\partial v_2} & \cdots & \frac{\partial u_2}{\partial v_n}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ \frac{\partial u_m}{\partial v_1} & \frac{\partial u_m}{\partial v_2} & \cdots & \frac{\partial u_m}{\partial v_n} \end{bmatrix}$ 
如果为列优先，则为上面矩阵的转置。
<ul>
<li>矩阵( $m\times n$ 阶矩阵)对标量的偏导数</li>
</ul>
 $\frac{\partial \mathbf U}{\partial v}=\begin{bmatrix} \frac{\partial U_{1,1}}{\partial v} & \frac{\partial U_{1,2}}{\partial v} & \cdots & \frac{\partial U_{1,n}}{\partial v}\ \frac{\partial U_{2,1}}{\partial v} & \frac{\partial U_{2,2}}{\partial v} & \cdots & \frac{\partial U_{2,n}}{\partial v}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ \frac{\partial U_{m,1}}{\partial v} & \frac{\partial U_{m,2}}{\partial v} & \cdots & \frac{\partial U_{m,n}}{\partial v} \end{bmatrix}$ 
<ol start="5">
<li>对于矩阵的迹，有下列偏导数成立：</li>
</ol>
 $\frac{\partial [tr(f(\mathbf X))]}{\partial \mathbf X }=(f^{\prime}(\mathbf X))^{T}$ 
 $\frac{\partial [tr(\mathbf A\mathbf X\mathbf B)]}{\partial \mathbf X }=\mathbf A^{T}\mathbf B^{T}$ 
 $\frac{\partial [tr(\mathbf A\mathbf X^{T}\mathbf B)]}{\partial \mathbf X }=\mathbf B\mathbf A$ 
 $\frac{\partial [tr(\mathbf A\otimes\mathbf X )]}{\partial \mathbf X }=tr(\mathbf A)\mathbf I$ 
 $\frac{\partial [tr(\mathbf A\mathbf X \mathbf B\mathbf X)]}{\partial \mathbf X }=\mathbf A^{T}\mathbf X^{T}\mathbf B^{T}+\mathbf B^{T}\mathbf X \mathbf A^{T}$ 
 $\frac{\partial [tr(\mathbf X^{T} \mathbf B\mathbf X \mathbf C)]}{\partial \mathbf X }=\mathbf B\mathbf X \mathbf C +\mathbf B^{T}\mathbf X \mathbf C^{T}$ 
 $\frac{\partial [tr(\mathbf C^{T}\mathbf X^{T} \mathbf B\mathbf X \mathbf C)]}{\partial \mathbf X }=(\mathbf B^{T}+\mathbf B)\mathbf X \mathbf C \mathbf C^{T}$ 
 $\frac{\partial [tr(\mathbf A\mathbf X \mathbf B\mathbf X^{T} \mathbf C)]}{\partial \mathbf X }= \mathbf A^{T}\mathbf C^{T}\mathbf X\mathbf B^{T}+\mathbf C \mathbf A \mathbf X \mathbf B$ 
 $\frac{\partial [tr((\mathbf A\mathbf X\mathbf B+\mathbf C)(\mathbf A\mathbf X\mathbf B+\mathbf C))]}{\partial \mathbf X }= 2\mathbf A ^{T}(\mathbf A\mathbf X\mathbf B+\mathbf C)\mathbf B^{T}$ 
<ol start="6">
<li>假设 $\mathbf U= f(\mathbf X)$ 是关于 $\mathbf X$ 的矩阵值函数（

$f:\mathbb R^{m\times n}\rightarrow \mathbb R^{m\times n}$ </li>
</ol>
），且 $g(\mathbf U)$ 是关于 $\mathbf U$ 的实值函数（ $g:\mathbb R^{m\times n}\rightarrow \mathbb R$ ），则下面链式法则成立：
 $\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial \mathbf X}= \left(\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{i,j}}\right){m\times n}=\begin{bmatrix} \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x{1,1}} & \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{1,2}} & \cdots & \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{1,n}}\ \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{2,1}} & \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{2,2}} & \cdots & \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{2,n}}\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\ \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{m,1}} & \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{m,2}} & \cdots \frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial x_{m,n}}\ \end{bmatrix}\ =\left(\sum_{k}\sum_{l}\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial u_{k,l}}\frac{\partial u_{k,l}}{\partial x_{i,j}}\right){m\times n} =\left(tr\left[\left(\frac{\partial g(\mathbf U)}{\partial \mathbf U}\right)^{T} \frac{\partial \mathbf U}{\partial x{i,j}}\right]\right)_{m\times n} $ 
<h2><a id="_351"></a>四、特殊函数</h2>
<ol>
<li>这里给出机器学习中用到的一些特殊函数。</li>
</ol>
<h3><a id="41_sigmoid__355"></a>4.1 sigmoid 函数</h3>
<ol>
<li> $sigmoid$ 函数：</li>
</ol>
 $\sigma(x)=\frac{1}{1+\exp(-x)}$ 
<ul>
<li>该函数可以用于生成二项分布的 $\phi$ 参数。</li>
<li>当 x 很大或者很小时，该函数处于饱和状态。此时函数的曲线非常平坦，并且自变量的一个较大的变化只能带来函数值的一个微小的变化，即：导数很小。</li>
</ul>
<h3><a id="42_softplus__365"></a>4.2 softplus 函数</h3>
<ol>
<li> $softplus$ 函数：

$\zeta(x)=\log(1+\exp(x))$ </li>
</ol>
<ul>
<li>该函数可以生成正态分布的 $\sigma^{2}$ 参数。</li>
<li>它之所以称作 $softplus$ ，因为它是下面函数的一个光滑逼近： $x^{+}=\max(0,x)$ 。</li>
</ul>
<ol start="2">
<li>如果定义两个函数：</li>
</ol>
 $x{+}=\max(0,x)\ x{-}=\max(0,-x)$ 
则它们分布获取了 $y=x$ 的正部分和负部分。
根据定义有： $x=x{+}-x{-}$ 。而 $\zeta(x)$ 逼近的是 $x^{+}$ ， $\zeta(-x)$ 逼近的是

$x^{-}$ ，于是有：
 $\zeta(x)-\zeta(-x)=x$ 
<ol start="3">
<li> $sigmoid$ 和 $softplus$ 函数的性质：</li>
</ol>
 $\sigma(x)=\frac{\exp(x)}{\exp(x)+\exp(0)} \ \frac {d}{dx}\sigma(x)=\sigma(x)(1-\sigma(x)) \ 1-\sigma(x)=\sigma(-x) \ \log\sigma(x)=-\zeta(-x) \ \frac{d}{dx}\zeta(x)=\sigma(x) \ \forall x\in(0,1),\sigma^{-1}(x)=\log(\frac{x}{1-x}) \ \forall x \gt 0,\zeta^{-1}(x)=\log(\exp(x)-1) \ \zeta(x)=\int_{-\infty}^{x}\sigma(y)dy \ \zeta(x)-\zeta(-x)=x \ $ 
其中 $f^{-1}(\cdot)$ 为反函数。 $\sigma^{-1}(x)$ 也称作 $logit$ 函数。
<h3><a id="43__400"></a>4.3 伽马函数</h3>
<ol>
<li>伽马函数定义为：</li>
</ol>
 $ \Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t{x-1}e{-t}dt\quad,x\in \mathbb R\ or. \quad\Gamma(z)=\int_0^{+\infty} t{z-1}e{-t}dt\quad,z\in \mathbb Z\ $ 
性质为：
<ul>
<li>
对于正整数 n 有： $\Gamma(n)=(n-1)!$ 。
</li>
<li>
 $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ ，因此伽马函数是阶乘在实数域上的扩展。
</li>
<li>
与贝塔函数的关系：
</li>
</ul>
 $B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ 
<ul>
<li>对于 $x \in (0,1)$ 有：</li>
</ul>
 $\Gamma(1-x)\Gamma(x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}$ 
则可以推导出重要公式： $\Gamma(\frac 12)=\sqrt\pi$ 。
<ul>
<li>对于 $x\gt 0$ ，伽马函数是严格凹函数。</li>
</ul>
<ol start="2">
<li>当 x 足够大时，可以用 $Stirling$ 公式来计算 $Gamma$ 函数值：

$\Gamma(x) \sim \sqrt{2\pi} e{-x}x{x+1/2}$ </li>
</ol>
<h3><a id="44__432"></a>4.4 贝塔函数</h3>
<ol>
<li>对于任意实数 $m,n \gt 0$ ，定义贝塔函数：</li>
</ol>
 $B(m,n)=\int_0^1 x{m-1}(1-x){n-1} dx$ 
其它形式的定义：
 $B(m,n)=2\int_0^{\frac \pi 2}\sin ^{2m-1}(x) \cos ^{2n-1}(x) dx\\ B(m,n) = \int_0{+\infty}\frac{x{m-1}}{(1+x)^{m+n}} dx\ B(m,n)=\int_01\frac{x{m-1}+x{n-1}}{(1+x){m+n}}dx$ 
<ol start="2">
<li>性质：</li>
</ol>
<ul>
<li>
连续性：贝塔函数在定义域 $m\gt0,n\gt0$ 内连续。
</li>
<li>
对称性： $B(m,n)=B(n,m)$ 。
</li>
<li>
递个公式：
</li>
</ul>
 $ B(m,n) = \frac{n-1}{m+n-1}B(m,n-1),\quad m\gt0,n\gt1\ B(m,n) = \frac{m-1}{m+n-1}B(m-1,n),\quad m\gt1,n\gt0\ B(m,n) = \frac{(m-1)(n-1)}{(m+n-1)(m+n-2)}B(m-1,n-1),\quad m\gt1,n\gt1 $ 
<ul>
<li>当 $m,n$ 较大时，有近似公式：

$B(m,n)=\frac{\sqrt{(2\pi)m{m-1/2}n{n-1/2}}}{(m+n)^{m+n-1/2}}$ </li>
<li>与伽马函数关系：
<ul>
<li>对于任意正实数 $m,n$ ，有：

$B(m,n)=\frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$ </li>
<li> $B(m,1-m)=\Gamma(m)\Gamma(1-m)$ 。</li>
</ul>
</li>
</ul>
<a href="http://www.huaxiaozhuan.com/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A1%80/chapters/1_algebra.html" target="_blank">参考文献</a>
<pre><code class="lang-python">
</code></pre>

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