一、练练有词完成 2019年视频 unit 01 最后一节

二 数学 完成汤家凤 不定积分结尾一节 以及第五章 定积分 的前三节

其中涉及：

1.函数 原函数 ：

连续函数 一定存在原函数 

不定积分的基本公式： 

1、常数函数  

2、指数函数

3、幂函数

4、对数函数

5、三角函数

2.第一类还原积分（凑微分）

3.第二类还原积分（还原法）

a、如果存在无理数  多数情况下 需要转化为有理函数 （也不是必须得  有时候可以直接使用凑微分）

不能凑微分的条件下需要将 无理数 进行还原处理 转化为有理数  （笔记57）

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现（百科）

b、平方差 平方和的格式

三角替换的一些情形需要背下来

根号下面  平方和 平方差的情形

4.分部积分

分部积分的起源：

使用分部积分的情形：
a、被积函数 为 幂函数 混 指数函数

b、幂函数 与 对数函数混在一起

c、幂函数 与 三角函数 混在一起

三 、有理函数的不定积分

R(x) = P(x) / Q(x)

需要对上面的函数分类：
如果是真分数:

需要拆分成部分和的形式：

a、如果分母能够因式分解：

      分母必须进行因式分解 分子可以不管

b、如果分母不能因式分解：

不能分解  就进行凑微分

如果是假的分数：

需要将格式转化为 多项式 + 真分数 的格式 具体的转化过程 （笔记 64）

第五章 定积分

一、背景：近似的求曲线与坐标之间的面积 如何无限精确

分为三部分：

1、将f(x)的自变量的区间 分割成无数个小段

2、保证 入 = max{ △ x1 .....△xn} -> 0;

3、对 f(x ) x(△xi)  对 i 从 1 到 n 进行求和；

函数f(x)有界是可以积分的必要条件 ：没有这个条件不行，但是只是满足这个条件是不能反推的。（举例 笔记 72）

例子是 x 为有理数的情况下为 f(x) = 1  ；无理数的情况下为  f(x ) = 0 ;这种情况下分 取 任意的有理数  任意的无理数 他们之间 可以满足无限划分的要求：？

这个例子能够证明 有界不能说明就是可以积分的

4、在前面章节中 学习到 ：分子 分母 阶 整齐  定积分 不整齐 ：夹逼定理

定积分+ 牛顿莱布尼茨公式、

5、定积分的上下限与韩顺有关于 积分变量无关（还原之后不需要还原）

不定积分（本身是一个函数） 与积分变量是有关的 还原之后需要还原、

6、定积分的计算：表达式中也就是f ( ) 括号中 不能有积分上限 一样的 x ; 需要 对 （）中的函数进行环院之后才能计算；

7、牛顿莱布尼茨公式的证明

8、定积分的一般性质：

加减

常数外提

拆分

定义域中  f(x）>0  积分 值也是>0

....

9、积分中值定理：

闭区间  ：使用介值定理进行证明

10、积分中值定理的推广：

开区间：使用牛顿莱布尼茨 + 拉格朗日公式 进行证明