浅谈真理的不完备

        作为20世纪所有数学理论中最重要的成果之一，哥德尔不完备性定理自从其被提出之日起就被人们誉为数学和逻辑发展史中的里程碑式成果，此后的事实证明它不仅具有划时代的数学意义，而且蕴含了极其深刻的哲学韵味。历史上从来没有哪一个数学定理能如它一般，对人类文明的进步产生如此广泛、而深远的影响，以致让无数思考者不断试图通过认识它所反映的真理本质来重新审度我们的物质世界，同时感受认知的艰难和思想的伟大。

        人类思维的天生感性使我们往往不能真正做到客观公正对待我们的世界和这个世界的"真理"。因此我们所谓的"真理"只不过是我们站在不同角度下的片面认识，它或许能在我们现有的认知体系下被冠以“真理”的美誉，但实际上它们几乎所有都是不完备的，甚至是错误的。这也就是说从某种意义上来说我们所有所谓"真理"的不完备之处必定存在。这种情况的发生是因为在一般情况下，每当我们偶然接触到一个新命题时，我们的感性思维就会潜移默化中根据思维方式和经验做出判断并将之奉之为"真理"，这也就是说感性思维上的惯性会让我们不假思索的根据已有的思维方式和经验在加以判断。人们常说：看似正确的谬论比无知更可怕！它的存在必将减缓人类认知的真理化进程。从上述来看真理与命题之间的矛盾似乎是不完备的必然表现。这个表现的本质在于人的不完全理性思维不能证明“真理”本身的完备性，而“真理命题”只能建立在体系完备（真理完备）的基础上，哥德尔不完备性定理恰恰证明完备真理是不可能的。因此，当人追求“完备命题”时，就已经偏离了追求“真理”的正确道路，其结果必然是：发现“完备真理”就是绝对的不完备。 哥德尔定理的核心在于完备真理不存在，这是人的认识论造成的．

        哥德尔关于不完备性定理的研究首次发表在他的论文《论数学原理及有关系统中不可判定命题》中。不完备性定理描述的是关于不可判定命题存在的一般结果。其推导都有两个不可逾越的前提： （1）凡是可证明的命题必然是真的（从直观上看，这是任何一公理系统的必然要求）。 （2）命题的真理性在映射下保持不变（特别是真理和命题是同真假的）。因此往往我们认为严谨的推理也不能做到真正地做到想象中的严谨。以前许多数学家总以为：如果某个命题是正确的，一定可以用数学演绎方法证明其为真；如果某个数学命题是错误的，也定又可以用数学演绎方法证明其为假。正如法国数学家庞加菜所说"在数学中，当我拟定了作为约定的定义和公设以后，一个定理就只能为其或为假。但是，要回答这个定理是否为真，就不再需要我们将要求助的感觉证据，而要求助于推理。"哥德尔不完备性定理的建立则一举粉碎了无数数学家几千年来的信念。它真实地告诉我们，真与可证是两个概念，"可证性"涉及到一个具有能行性的较为机械的思维过程，而"真理性"则涉及到一个能动的超穷的思维过程。因此，可证的一定是真的，但真的不一定可证。从这个意义上说，不完备的阴影将永远伴随着我们对事物的认知。

        哥德尔不完备性定理的证明思想来源于数学家对不完备严谨的分析，而哥德尔不完备性定理的重大意义在于提出了一个大问题:不完备性原理是仅仅存在于数学系统中，还是普遍存在于所有系统中呢（自然科学系统，社会科学系统……）？就目前而言，我们认为许多系统已有可以证明的事实，最突出一个事例莫过于物理学中时空观的变革，在爱因斯坦之前的人们很少会怀疑牛顿经典时空观的正确性，仿佛它就是亘古不变的“真理”，但它的不完备最终还是让它从科学的神坛上走了下来，但取而代之的相对论就一定是“真理”吗？答案可想而知。由此可见，哥德尔不完备性定理早已超越了数学和逻辑学，提出了无数让人类无法回避的各领域问题，也挑战着我们对世界的认知。

        真理的不完备性已成事实，那么对不完备真理的研究是不是就毫无意义了呢？答案是否定的，众所周知，在漫长的数学发展史中，曾有过三次危机：无理数的发现；微积分的创立，集合论的悖论。第一次数学危机使数学从数的不完备出发让数由“有限”进入了“无限”，第二次数学危机使数学从有限与无限的不完备出发集中反映了有限与无限的概念。第三次数学危机则是由集合论的不完备出发阐明了集合的意义。不难看出，数学史上的三次危机，都是与不完备性联系在一起的。而这些不完备之处最终恰恰导致了数学的严谨发展，让人类不断地深化人类对数学的研究和理解。因此认知的不完备一定程度上也在推动认知的发展！正如我国著名科学家郝柏林院士所言，“否定比肯定更具普遍性”。在科学上，一个否定性结论的形成往往标志着一个新科学方向的产生。认识到绝对温度零度不能达到，恰恰是低温物理学的开始；认识到质点不能超光速运动，正好是相对论的开端；认识到测不准原理，恰好是量子力学的诞生。尽管我们对任何事物的认知都是不完备的，但是我们的认知毕竟在这样的不完备中真的不断前进了。

        从今天来看，认知的不完备告诉我们即得的知识并不是完备的真理，纵使人类不断完善也未必能去除其中所有的不完备，但是它确是人类与世界之间最有效的纽带。追求绝对的真理知识是不可能的，但这并不意味着我们在知识的可靠性上一定要采取一种彻底地抵触态度。世界上虽没有那种不容置疑的绝对真理，但知识也并不是非要有那种不容置疑的绝对正确不可。因为知识的历史就是人类不懈追求知识的绝对完备又逐步显现知识的不完备进而不断前进的历史。这就需要我们在面对世界时要始终怀有对认知的质疑和对绝对真理的追求！