二项式定理有关问题,是中学数学中的一个重要知识点,在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有:求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等,其难度不会太大,但题型可能较灵活.在高考中通常是以易题出现,主要以选择题、填空题和解答题的形式考查,其试题难度属中档题.
类型一 求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
求二项展开式中的系数问题使用情景:求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数
解题步骤:
第一步 首先求出二项展开式的通项;
第二步 根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数;
第三步 得出结论.
例1. 展开式中第3项的二项式系数为( )
A.6 B.-6 C.24 D.-24
【答案】A
【解析】第三项的二项式系数为,选.
【总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项,可依据条件写出第项,再由特定项的特点求出值即可。
(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数.
类型二 二项式系数的性质与各项系数和
二项式系数的性质与各项系数和使用情景:二项式系数的性质与各项系数和
解题步骤:
第一步 观察题意特征,合理地使用赋值法;
第二步 区别二项式系数与展开式中项的系数,灵活利用二项式系数的性质;
第三步 得出结论.
例2
(1)设,若,则展开式中系数最大的项是( )
A. B. C. D.
(2)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为________.
【答案】 (1)B;(2)56.
【解析】
(1),
令得
令,则
又的展开式二项式系数最大项的系数最大,
的展开式系数最大项为
(2)由题意知,
,
当时,的系数为
【总结】
(1)第(1)小题求解的关键在于赋值,求出与n的值;第(2)小题在求解过程中,常因把n的等量关系表示为,而求错n的值.
(2)求解这类问题要注意:
①区别二项式系数与展开式中项的系数,灵活利用二项式系数的性质;
②根据题目特征,恰当赋值代换,常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1,-1.
类型三 二项式定理的应用
二项式定理的应用使用情景:使用二项式定理处理整除问题
解题步骤:
第一步 通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式;
第二步 再用二项式定理展开,但要注意两点:一是余数的范围,,其中余数,r是除数,切记余数不能为负,二是二项式定理的逆用.;
第三步 得出结论.
例3 .设,且,若能被13整除,则a=( )
A.0 B.1 C.11 D.12
【答案】D.
【解析】
能被13整除。且能被13整除,
也能被13整除
因此可取值12
【总结】:在使用二项式定理展开,但要注意两点:一是余数的范围,,其中余数,r是除数,切记余数不能为负,二是二项式定理的逆用.
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