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1.正交变换是一种线性变换，对应的几何不变量是“两点间距离”。对于任何一种几何变换，不变量的概念都是极为重要的。
2.如果把矩阵看作一种变换，把矩阵之间的乘法运算看作变换的复合，那么，几何学就是群论或者近世代数中最为简单、最为直接的特例。如果从群的角度考虑，射影几何是最大的，其次是仿射几何，然后是度量几何。
3.【思】下面摘录的这段设想我觉得好有意思。
是否可以构建一个限制条件最简单而又有意义的变换呢？比如，允许把直线变为曲线，把三角形变为椭圆，把金字塔变为圆球的变换。如果是这样，这样的几何学还有研究的内容吗？
通过变换，点、线、面、体保持不变。把这个限制浓缩为：通过变换，保持图形的维度不变。
在书的后面讲“哥尼斯堡的七座桥”，我才真正理解了这个数学问题的价值，从而知道了拓扑学研究的领域以及价值，同时知道了“位置几何学”的概念。而在讲到这些的时候，我已经记不住是否在大学曾经接触过这样的概念，我终于有些理解蔡金法教授在高研班时多次提到“本体性知识”的欠缺了。我产生了“本体性知识的恐慌感”。
4.平行线公设是建立在直观之上的，这仅仅是数学的第一步抽象；为了寻求公设更合理的解释，需要进行更一般的抽象，这便是数学的第二步抽象。
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