材料力学：第四章

一、切应力互等定理，剪切胡克定律

1. 切应力互等定理
   在两个相互垂直的平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。
   只有切应力、没有正应力的状态，称为纯切应力状态。
2. 剪切胡克定律
   当切应力小于等于切应力比例极限时，有。其中为切应力，为切应变，为杨氏模量。则：
   

二、圆轴扭转时横截面上的切应力分析

1. 平面假定与切应变分布规律
   平面假定：圆轴受扭发生变形时，其横截面保持平面，并刚性地绕轴线转动一角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。
   变形协调方程：
   其中为扭转角沿轴线的变化率，为常量。
   即切应变与其到横截面中心的距离成正比。
2. 横截面的切应力分布
   
   即切应力与其到横截面中心的距离成正比。
   切应力分布
3. 圆轴扭转时扭转角变化率，横截面上的切应力表达式
   
   其中为极惯性矩，为扭转刚度。
   
   则最大正应力
   常用极惯性矩：
   圆截面，圆环截面
   常用扭转截面系数：
   实心轴，空心轴

三、非圆截面杆扭转时的切应力

1. 翘曲非圆截面杆扭转时，横截面外周线将改变原来的形状，并且不再位于同一平面内。
   应用平衡方法得到的结论：

• 非圆截面杆扭转时，横截面上周边各点的切应力沿着周边切线方向；
• 对于有凸角的多边形截面杆，横截面上凸角点处的切应力为零。
  对于矩形截面杆：
  矩形截面
  长边中点处：
  短边中点处：
  对于狭长矩形截面：
  狭长矩形截面
  
  其中，故
  两类切应力：扭转切应力和弯曲切应力。

四、薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心

1. 切应力流

• 由于壁很薄，故切应力沿壁厚方向可认为时均匀分布；
• 若杆件表面无切向力作用，则薄壁截面上的切应力作用线必平行于截面周边的切线方向，形成切应力流。
  对于槽形的截面：
  槽型截面
  推导过程
  
  

2. 弯曲中心
   与切应力相对应的分布力系向横截面所在平面内的某一点简化，将得到的只是一个力，这个力的作用点，称之为弯曲中心。