打开黑匣子 - 用Plink做主成分分析(PCA)的时候到底发生

1. 用plink做主成分分析，就短短如下一行代码便能完成。但是plink到底对我的数据作了什么处理？
   plink --vcf mp.vcf --out pca
   plink --vcf tmp.vcf --allow-extra-chr --double-id --out pca

2. 经过简单查阅得知，PCA是基于欧式距离矩阵的一个降维
   有两个关键词：欧式距离矩阵 / 降维

另外还能搜到的是：矩阵和特征向量，线性代数
本文也做个降维处理，只考虑两个维度和三个维度，即矩阵不超过3x3

义务教育阶段中涉及到的几何都是属于欧式几何，一个基本的定理是：
对于点A (x,y) 和 点B (m,n)，线段AB的长度或者点A到点B的(欧式)距离为:

欧式距离的公式

这是在二维空间中，三维空间同理

对于vcf文件(SNP)，其格式可以简化为：每个个体在每一个SNP位点的SNP组成情况：

vcf文件的简化

0意味着0/0 (和参考基因组完全一样)，1意味着1/0 (杂合子)，2意味着1/1 (和参考基因组完全不一样的纯合子)
A1和A2两个个体的三个SNP的组成情况

群体遗传学中，PCA通常是表示种群之间亲缘关系的相对远近。图上的每一个点代表一个样本：

举个例子

4.所以很容易想到：SNP组成 欧式距离 PCA
SNP1, SNP2, SNP3(的值)就可以看成x, y, z坐标

vcf文件的简化

此时就变成了计算三维空间中的A1和A2两点的距离

A1和A2的欧式距离也就是 根号5

用R进行验证：

用R算的和我算的一样

这里有3个SNP，是三维空间中的空间距离，所以都不用做任何处理，直接把三个SNP的值当成三个坐标，就能把A1和A2的相对位置画出来
如果vcf文件中有n个SNP，那算的就是N维空间中的空间距离，这个时候就需要降维到三维以下才能被我们看见

5. PCA - 基于欧式距离的降维
   欧式几何，那就直接构建一个边长为345的直角三角形：

   
   即对于距离矩阵为345的这三个点，他们的相对位置就是一个直角三角形

用R进行验证：

PCoA如果是基于欧式距离矩阵就和PCA画等号, PCoA并不要求输入距离矩阵的类型

如图:

结果就是一个直角三角形

6. 还存在的问题
   6.1 每个主成分的贡献率
   6.2 环境因子与主成分之间的相关性
   6.3 本文也是对实际问题的一个简化和降维, 理解即可