概述

Prim算法是应用贪心算法设计策略实现的生成最小支撑树的算法，又称为加点法。与其类似的是Kruskal算法，又称为加边法。

什么是最小支撑树

MST性质及其证明

Prim和kruskal都是贪心策略。
都是利用了MST性质。

Prim算法基本思想

设G=(V,E) 是一个连通赋权图，V={1，2，...,n}。

1. 设置一个空集S。

2. 随机选择一个顶点作为起始加入S，例如加入1，S={1}.

3. 作贪心选择：从V-S中选取 j 加入S，j 要满足<i,j>为最小，i∈S。

4. 重复3直至S中包含所有顶点。

Prim算法C实现

1.算法描述

关键之处在于如何选择最小的<i,j>,因此设置两个数组lowcost，closest。

lowcost[i] = Min(lowcost[i],<i,j>) ,j∈S。

lowcost[i]存储V-S中 i 顶点到S各顶点的边中的最小边权值,例如，S中有顶点1，2，则lowcost[i] = MIn{ <i,1>,<i,2>}。

closest[i] 存储lowcost[i]最小边的另一顶点。

S中有顶点1，2，则lowcost[i] = MIn{ <i,1>,<i,2>}，假设<i,2>最小则closest[i]=2。

故prim算法可分为如下3部分

1. 初始化lowcost和closest数组，和S数组（S[i]=1,表示i顶点已经进入S集和)

选择一个初始顶点start，lowcost初始化，lowcost[i]=<i,start>,closest[i]=start。

2. 找到遍历 lowcost 找最小，如lowcost[k]最小且k不在S中，k加入S，k∈V-S。

3. k加入S后 要更新lowcost和closest。

此时遍历lowcost，locost[i] = Min{Min(lowcost[i],<i,k>) },k为刚加入S中的顶点，i∈V-S。
若lowcost[i] > <i,k> ，则lowcost[i] = <i，k>,closest[i] = k.

4.重复2，3直至S中包含所有顶点。

2.代码

void Prim(int *lowcost,int *closest,Graph G)
{
    int count=1,min,*s,start,k，*lowcost,*closest;
    s = malloc((G->n+1)*sizeof(int));
    start =1;
     lowcost = malloc((G->n+1)*sizeof(WItem));
    closest = malloc((G->n+1)*sizeof(int));
// 初始化数组
    for(int i=1;i<=G->n;i++){
        lowcost[i] = G->a[i][start];
        closest[i]=start;
        s[i]=0;
    }

    s[start]=1;printf(" %d ",start);

    while(count<G->n){

// 找最小边
    min = G->NoEdge;
    for(int i=1;i<=G->n;i++ )
        if(lowcost[i]<min && (!s[i]))
        {
            min = lowcost[i];
            k=i;
        }

// k加入S
    s[k]=1;
    count++;
    printf(" %d ",k);

// 更新数组
    for(int i=1;i<=G->n;i++)
        if(G->a[i][k] < lowcost[i] && (!s[i])) 
        { lowcost[i] = G->a[i][k];
         closest[i] = k;
        }
    }// while
}