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机械能守恒与平抛运动：2015年海南卷题14

机械能守恒与平抛运动：2015年海南卷题14

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-25 21:41 被阅读0次

2015年海南卷题14

14.如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧 ab和抛物线 bc 组成，圆弧半径 Oa 水平，b 点为抛物线顶点。已知h=2 m,s =\sqrt{2} m。取重力加速度大小 g=10m/s^2。

（1）一小环套在轨道上从 a 点由静止滑下，当其在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；

（2）若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达 c 点时速度的水平分量的大小。

【解答问题1】

小环从 a 点到 b 点，机械能守恒，所以 \dfrac{1}{2}mv^2_b=mgR

v^2_b=2gR

小环在在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，表明它在这一段作平抛运动。

竖直方向上作自由落体运动，所以

h=\dfrac{1}{2}gt^2_{c} \;\Rightarrow\;t_c=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}

水平方向上作匀速直线运动，所以

v_{xc}=v_{xb}

v_{xc}=\dfrac{s}{t_c}

v^2_{b}=\dfrac{s^2}{t^2_c}=\dfrac{gs^2}{2h}=2gR

∴ R=\dfrac{s^2}{4h} = 0.25\,m

【解答问题2】

假如环作平抛运动，则

s=v_x t_c

h=\dfrac{1}{2} v_yt_c

\dfrac{v_y}{v_x}=\dfrac{2h}{s} \Rightarrow\; \dfrac{v^2_x+v^2_y}{v^2_x}=\dfrac{s^2+4h^2}{s^2}

\dfrac{v_x}{\sqrt{v^2_x+v^2_y}}=\dfrac{s}{\sqrt{s^2+4h^2}}

从b点由静止因微小扰动而开始滑下，由机构能守恒可得：

\dfrac{1}{2}mv^2=mgh\;\Rightarrow\;v^2=2gh

所以，环到达 c 点时速度的水平分量的大小为 \dfrac{s}{\sqrt{s^2+4h^2}} \cdot \sqrt{2gh}=\dfrac{2\sqrt{5}}{9}\,m/s .

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